Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32746 / 24074
↖ ↑ ↗
← N 43.028745°
W  0.120849°		 ← 446.49 m → N 43.028745°
W  0.115356°		 →
↑
446.54 m
↓
↑
446.54 m
↓
N 43.024730°
W  0.120849°		 ← 446.52 m →
199 385 m²		 N 43.024730°
W  0.115356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499671936035156 y=0.367347717285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499671936035156 × 216)
    floor (0.499671936035156 × 65536)
    floor (32746.5)     		tx = 32746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367347717285156 × 216)
    floor (0.367347717285156 × 65536)
    floor (24074.5)     		ty = 24074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32746 / 24074 ti = "16/32746/24074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32746/24074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32746 ÷ 216
    32746 ÷ 65536     		x = 0.499664306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24074 ÷ 216
    24074 ÷ 65536     		y = 0.367340087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499664306640625 × 2 - 1) × π
    -0.00067138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00210922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367340087890625 × 2 - 1) × π
    0.26531982421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.833526810593536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00210922} λ = -0.00210922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.833526810593536))-π/2
    2×atan(2.3014211204735)-π/2
    2×1.1608948022077-π/2
    2.32178960441539-1.57079632675     		φ = 0.75099328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00210922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.120849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75099328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.028745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32746 KachelY 24074 -0.00210922 0.75099328 -0.120849 43.028745
    Oben rechts KachelX + 1 32747 KachelY 24074 -0.00201335 0.75099328 -0.115356 43.028745
    Unten links KachelX 32746 KachelY + 1 24075 -0.00210922 0.75092319 -0.120849 43.024730
    Unten rechts KachelX + 1 32747 KachelY + 1 24075 -0.00201335 0.75092319 -0.115356 43.024730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75099328-0.75092319) × R
    7.00900000000226e-05 × 6371000     		dl = 446.543390000144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75099328-0.75092319) × R
    7.00900000000226e-05 × 6371000     		dr = 446.543390000144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00210922--0.00201335) × cos(0.75099328) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.73101144989362 × 6371000     		do = 446.492853324991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00210922--0.00201335) × cos(0.75092319) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.731059275074552 × 6371000     		du = 446.522064360602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75099328)-sin(0.75092319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73101144989362-0.731059275074552)×R²
    abs(-0.00201335--0.00210922)×4.78251809319374e-05×R²
    9.58700000000001e-05×4.78251809319374e-05×6371000²
    9.58700000000001e-05×4.78251809319374e-05×40589641000000     		ar = 199384.954413855m²