Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32742 / 24231
↖ ↑ ↗
← N 42.395066°
W  0.142822°		 ← 451.12 m → N 42.395066°
W  0.137329°		 →
↑
451.13 m
↓
↑
451.13 m
↓
N 42.391008°
W  0.142822°		 ← 451.15 m →
203 521 m²		 N 42.391008°
W  0.137329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499610900878906 y=0.369743347167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499610900878906 × 216)
    floor (0.499610900878906 × 65536)
    floor (32742.5)     		tx = 32742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369743347167969 × 216)
    floor (0.369743347167969 × 65536)
    floor (24231.5)     		ty = 24231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32742 / 24231 ti = "16/32742/24231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32742/24231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32742 ÷ 216
    32742 ÷ 65536     		x = 0.499603271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24231 ÷ 216
    24231 ÷ 65536     		y = 0.369735717773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499603271484375 × 2 - 1) × π
    -0.00079345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00249272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369735717773438 × 2 - 1) × π
    0.260528564453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.818474624112839
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00249272} λ = -0.00249272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.818474624112839))-π/2
    2×atan(2.26703911195313)-π/2
    2×1.15536490331222-π/2
    2.31072980662444-1.57079632675     		φ = 0.73993348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00249272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.142822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73993348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.395066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32742 KachelY 24231 -0.00249272 0.73993348 -0.142822 42.395066
    Oben rechts KachelX + 1 32743 KachelY 24231 -0.00239684 0.73993348 -0.137329 42.395066
    Unten links KachelX 32742 KachelY + 1 24232 -0.00249272 0.73986267 -0.142822 42.391008
    Unten rechts KachelX + 1 32743 KachelY + 1 24232 -0.00239684 0.73986267 -0.137329 42.391008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73993348-0.73986267) × R
    7.08100000000877e-05 × 6371000     		dl = 451.130510000559m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73993348-0.73986267) × R
    7.08100000000877e-05 × 6371000     		dr = 451.130510000559m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00249272--0.00239684) × cos(0.73993348) × R
    9.588e-05 × 0.738513410727608 × 6371000     		do = 451.122009942807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00249272--0.00239684) × cos(0.73986267) × R
    9.588e-05 × 0.738561151724616 × 6371000     		du = 451.151172601486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73993348)-sin(0.73986267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738513410727608-0.738561151724616)×R²
    abs(-0.00239684--0.00249272)×4.77409970085496e-05×R²
    9.588e-05×4.77409970085496e-05×6371000²
    9.588e-05×4.77409970085496e-05×40589641000000     		ar = 203521.480585462m²