Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32741 / 24232
↖ ↑ ↗
← N 42.391008°
W  0.148315°		 ← 451.10 m → N 42.391008°
W  0.142822°		 →
↑
451.13 m
↓
↑
451.13 m
↓
N 42.386951°
W  0.148315°		 ← 451.13 m →
203 513 m²		 N 42.386951°
W  0.142822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499595642089844 y=0.369758605957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499595642089844 × 216)
    floor (0.499595642089844 × 65536)
    floor (32741.5)     		tx = 32741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369758605957031 × 216)
    floor (0.369758605957031 × 65536)
    floor (24232.5)     		ty = 24232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32741 / 24232 ti = "16/32741/24232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32741/24232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32741 ÷ 216
    32741 ÷ 65536     		x = 0.499588012695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24232 ÷ 216
    24232 ÷ 65536     		y = 0.3697509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499588012695312 × 2 - 1) × π
    -0.000823974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00258859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3697509765625 × 2 - 1) × π
    0.260498046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.818378750313599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00258859} λ = -0.00258859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.818378750313599))-π/2
    2×atan(2.26682177271918)-π/2
    2×1.15532950012476-π/2
    2.31065900024951-1.57079632675     		φ = 0.73986267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00258859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.148315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73986267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.391008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32741 KachelY 24232 -0.00258859 0.73986267 -0.148315 42.391008
    Oben rechts KachelX + 1 32742 KachelY 24232 -0.00249272 0.73986267 -0.142822 42.391008
    Unten links KachelX 32741 KachelY + 1 24233 -0.00258859 0.73979186 -0.148315 42.386951
    Unten rechts KachelX + 1 32742 KachelY + 1 24233 -0.00249272 0.73979186 -0.142822 42.386951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73986267-0.73979186) × R
    7.08099999999767e-05 × 6371000     		dl = 451.130509999852m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73986267-0.73979186) × R
    7.08099999999767e-05 × 6371000     		dr = 451.130509999852m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00258859--0.00249272) × cos(0.73986267) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.738561151724616 × 6371000     		do = 451.10411887051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00258859--0.00249272) × cos(0.73979186) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.738608889018438 × 6371000     		du = 451.133276225749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73986267)-sin(0.73979186))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738561151724616-0.738608889018438)×R²
    abs(-0.00249272--0.00258859)×4.77372938213483e-05×R²
    9.58700000000001e-05×4.77372938213483e-05×6371000²
    9.58700000000001e-05×4.77372938213483e-05×40589641000000     		ar = 203513.408180436m²