Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32739 / 32685
↖ ↑ ↗
← N  0.455928°
W  0.159302°		 ← 610.77 m → N  0.455928°
W  0.153809°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
N  0.450435°
W  0.159302°		 ← 610.77 m →
373 050 m²		 N  0.450435°
W  0.153809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499565124511719 y=0.498741149902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499565124511719 × 216)
    floor (0.499565124511719 × 65536)
    floor (32739.5)     		tx = 32739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.498741149902344 × 216)
    floor (0.498741149902344 × 65536)
    floor (32685.5)     		ty = 32685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32739 / 32685 ti = "16/32739/32685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32739/32685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32739 ÷ 216
    32739 ÷ 65536     		x = 0.499557495117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32685 ÷ 216
    32685 ÷ 65536     		y = 0.498733520507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499557495117188 × 2 - 1) × π
    -0.000885009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00278034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.498733520507812 × 2 - 1) × π
    0.002532958984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.00795752533692932
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00278034} λ = -0.00278034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00795752533692932))-π/2
    2×atan(1.00798927059036)-π/2
    2×0.789376884075904-π/2
    1.57875376815181-1.57079632675     		φ = 0.00795744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00278034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.159302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00795744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.455928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32739 KachelY 32685 -0.00278034 0.00795744 -0.159302 0.455928
    Oben rechts KachelX + 1 32740 KachelY 32685 -0.00268447 0.00795744 -0.153809 0.455928
    Unten links KachelX 32739 KachelY + 1 32686 -0.00278034 0.00786157 -0.159302 0.450435
    Unten rechts KachelX + 1 32740 KachelY + 1 32686 -0.00268447 0.00786157 -0.153809 0.450435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00795744-0.00786157) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dl = 610.787769999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00795744-0.00786157) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dr = 610.787769999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00278034--0.00268447) × cos(0.00795744) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.999968339741387 × 6371000     		do = 610.768432301244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00278034--0.00268447) × cos(0.00786157) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.999969098017724 × 6371000     		du = 610.768895447158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00795744)-sin(0.00786157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999968339741387-0.999969098017724)×R²
    abs(-0.00268447--0.00278034)×7.58276337609054e-07×R²
    9.58700000000001e-05×7.58276337609054e-07×6371000²
    9.58700000000001e-05×7.58276337609054e-07×40589641000000     		ar = 373050.030479329m²