Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32738 / 32674
↖ ↑ ↗
← N  0.516351°
W  0.164795°		 ← 610.76 m → N  0.516351°
W  0.159302°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
N  0.510858°
W  0.164795°		 ← 610.76 m →
373 047 m²		 N  0.510858°
W  0.159302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499549865722656 y=0.498573303222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499549865722656 × 216)
    floor (0.499549865722656 × 65536)
    floor (32738.5)     		tx = 32738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.498573303222656 × 216)
    floor (0.498573303222656 × 65536)
    floor (32674.5)     		ty = 32674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32738 / 32674 ti = "16/32738/32674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32738/32674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32738 ÷ 216
    32738 ÷ 65536     		x = 0.499542236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32674 ÷ 216
    32674 ÷ 65536     		y = 0.498565673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499542236328125 × 2 - 1) × π
    -0.00091552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00287621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.498565673828125 × 2 - 1) × π
    0.00286865234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.00901213712857056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00287621} λ = -0.00287621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00901213712857056))-π/2
    2×atan(1.00905286870395)-π/2
    2×0.789904170966864-π/2
    1.57980834193373-1.57079632675     		φ = 0.00901202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00287621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.164795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00901202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.516351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32738 KachelY 32674 -0.00287621 0.00901202 -0.164795 0.516351
    Oben rechts KachelX + 1 32739 KachelY 32674 -0.00278034 0.00901202 -0.159302 0.516351
    Unten links KachelX 32738 KachelY + 1 32675 -0.00287621 0.00891615 -0.164795 0.510858
    Unten rechts KachelX + 1 32739 KachelY + 1 32675 -0.00278034 0.00891615 -0.159302 0.510858
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00901202-0.00891615) × R
    9.58700000000014e-05 × 6371000     		dl = 610.787770000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00901202-0.00891615) × R
    9.58700000000014e-05 × 6371000     		dr = 610.787770000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00287621--0.00278034) × cos(0.00901202) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.999959392022597 × 6371000     		do = 610.762967144038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00287621--0.00278034) × cos(0.00891615) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.999960251397917 × 6371000     		du = 610.763492039973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00901202)-sin(0.00891615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999959392022597-0.999960251397917)×R²
    abs(-0.00278034--0.00287621)×8.59375319350875e-07×R²
    9.58700000000001e-05×8.59375319350875e-07×6371000²
    9.58700000000001e-05×8.59375319350875e-07×40589641000000     		ar = 373046.711286226m²