Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32738 / 23074
↖ ↑ ↗
← N 46.912751°
W  0.164795°		 ← 417.24 m → N 46.912751°
W  0.159302°		 →
↑
417.30 m
↓
↑
417.30 m
↓
N 46.908998°
W  0.164795°		 ← 417.27 m →
174 119 m²		 N 46.908998°
W  0.159302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499549865722656 y=0.352088928222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499549865722656 × 216)
    floor (0.499549865722656 × 65536)
    floor (32738.5)     		tx = 32738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352088928222656 × 216)
    floor (0.352088928222656 × 65536)
    floor (23074.5)     		ty = 23074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32738 / 23074 ti = "16/32738/23074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32738/23074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32738 ÷ 216
    32738 ÷ 65536     		x = 0.499542236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23074 ÷ 216
    23074 ÷ 65536     		y = 0.352081298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499542236328125 × 2 - 1) × π
    -0.00091552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00287621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352081298828125 × 2 - 1) × π
    0.29583740234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.929400609833649
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00287621} λ = -0.00287621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.929400609833649))-π/2
    2×atan(2.53299047293406)-π/2
    2×1.19478914606684-π/2
    2.38957829213368-1.57079632675     		φ = 0.81878197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00287621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.164795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81878197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.912751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32738 KachelY 23074 -0.00287621 0.81878197 -0.164795 46.912751
    Oben rechts KachelX + 1 32739 KachelY 23074 -0.00278034 0.81878197 -0.159302 46.912751
    Unten links KachelX 32738 KachelY + 1 23075 -0.00287621 0.81871647 -0.164795 46.908998
    Unten rechts KachelX + 1 32739 KachelY + 1 23075 -0.00278034 0.81871647 -0.159302 46.908998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81878197-0.81871647) × R
    6.54999999999406e-05 × 6371000     		dl = 417.300499999622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81878197-0.81871647) × R
    6.54999999999406e-05 × 6371000     		dr = 417.300499999622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00287621--0.00278034) × cos(0.81878197) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.683111258551758 × 6371000     		do = 417.236002272722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00287621--0.00278034) × cos(0.81871647) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.683159092674434 × 6371000     		du = 417.265218769841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81878197)-sin(0.81871647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683111258551758-0.683159092674434)×R²
    abs(-0.00278034--0.00287621)×4.78341226762824e-05×R²
    9.58700000000001e-05×4.78341226762824e-05×6371000²
    9.58700000000001e-05×4.78341226762824e-05×40589641000000     		ar = 174118.888457676m²