Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32736 / 22688
↖ ↑ ↗
← N 48.341646°
W  0.175781°		 ← 405.98 m → N 48.341646°
W  0.170288°		 →
↑
406.02 m
↓
↑
406.02 m
↓
N 48.337995°
W  0.175781°		 ← 406.01 m →
164 845 m²		 N 48.337995°
W  0.170288°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499519348144531 y=0.346199035644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499519348144531 × 216)
    floor (0.499519348144531 × 65536)
    floor (32736.5)     		tx = 32736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346199035644531 × 216)
    floor (0.346199035644531 × 65536)
    floor (22688.5)     		ty = 22688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32736 / 22688 ti = "16/32736/22688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32736/22688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32736 ÷ 216
    32736 ÷ 65536     		x = 0.49951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22688 ÷ 216
    22688 ÷ 65536     		y = 0.34619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49951171875 × 2 - 1) × π
    -0.0009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00306796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34619140625 × 2 - 1) × π
    0.3076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.966407896340332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00306796} λ = -0.00306796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.966407896340332))-π/2
    2×atan(2.62848568802197)-π/2
    2×1.20725860915929-π/2
    2.41451721831859-1.57079632675     		φ = 0.84372089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00306796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84372089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.341646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32736 KachelY 22688 -0.00306796 0.84372089 -0.175781 48.341646
    Oben rechts KachelX + 1 32737 KachelY 22688 -0.00297209 0.84372089 -0.170288 48.341646
    Unten links KachelX 32736 KachelY + 1 22689 -0.00306796 0.84365716 -0.175781 48.337995
    Unten rechts KachelX + 1 32737 KachelY + 1 22689 -0.00297209 0.84365716 -0.170288 48.337995
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84372089-0.84365716) × R
    6.37299999999286e-05 × 6371000     		dl = 406.023829999545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84372089-0.84365716) × R
    6.37299999999286e-05 × 6371000     		dr = 406.023829999545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00306796--0.00297209) × cos(0.84372089) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.664687476582563 × 6371000     		do = 405.982981568789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00306796--0.00297209) × cos(0.84365716) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.664735089286876 × 6371000     		du = 406.01206282628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84372089)-sin(0.84365716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664687476582563-0.664735089286876)×R²
    abs(-0.00297209--0.00306796)×4.76127043130825e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.76127043130825e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.76127043130825e-05×40589641000000     		ar = 164844.668988621m²