Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32733 / 24242
↖ ↑ ↗
← N 42.350425°
W  0.192261°		 ← 451.40 m → N 42.350425°
W  0.186768°		 →
↑
451.45 m
↓
↑
451.45 m
↓
N 42.346365°
W  0.192261°		 ← 451.42 m →
203 789 m²		 N 42.346365°
W  0.186768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499473571777344 y=0.369911193847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499473571777344 × 216)
    floor (0.499473571777344 × 65536)
    floor (32733.5)     		tx = 32733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369911193847656 × 216)
    floor (0.369911193847656 × 65536)
    floor (24242.5)     		ty = 24242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32733 / 24242 ti = "16/32733/24242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32733/24242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32733 ÷ 216
    32733 ÷ 65536     		x = 0.499465942382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24242 ÷ 216
    24242 ÷ 65536     		y = 0.369903564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499465942382812 × 2 - 1) × π
    -0.001068115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00335558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369903564453125 × 2 - 1) × π
    0.26019287109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.817420012321198
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00335558} λ = -0.00335558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.817420012321198))-π/2
    2×atan(2.26464952603777)-π/2
    2×1.15497534239172-π/2
    2.30995068478344-1.57079632675     		φ = 0.73915436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00335558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.192261°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73915436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.350425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32733 KachelY 24242 -0.00335558 0.73915436 -0.192261 42.350425
    Oben rechts KachelX + 1 32734 KachelY 24242 -0.00325971 0.73915436 -0.186768 42.350425
    Unten links KachelX 32733 KachelY + 1 24243 -0.00335558 0.73908350 -0.192261 42.346365
    Unten rechts KachelX + 1 32734 KachelY + 1 24243 -0.00325971 0.73908350 -0.186768 42.346365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73915436-0.73908350) × R
    7.08600000000059e-05 × 6371000     		dl = 451.449060000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73915436-0.73908350) × R
    7.08600000000059e-05 × 6371000     		dr = 451.449060000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00335558--0.00325971) × cos(0.73915436) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.739038499449212 × 6371000     		do = 451.395677022731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00335558--0.00325971) × cos(0.73908350) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.739086233367553 × 6371000     		du = 451.424832316268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73915436)-sin(0.73908350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739038499449212-0.739086233367553)×R²
    abs(-0.00325971--0.00335558)×4.77339183414527e-05×R²
    9.58700000000001e-05×4.77339183414527e-05×6371000²
    9.58700000000001e-05×4.77339183414527e-05×40589641000000     		ar = 203788.73523004m²