Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32731 / 24245
↖ ↑ ↗
← N 42.338245°
W  0.203247°		 ← 451.48 m → N 42.338245°
W  0.197754°		 →
↑
451.51 m
↓
↑
451.51 m
↓
N 42.334184°
W  0.203247°		 ← 451.51 m →
203 857 m²		 N 42.334184°
W  0.197754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499443054199219 y=0.369956970214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499443054199219 × 216)
    floor (0.499443054199219 × 65536)
    floor (32731.5)     		tx = 32731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369956970214844 × 216)
    floor (0.369956970214844 × 65536)
    floor (24245.5)     		ty = 24245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32731 / 24245 ti = "16/32731/24245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32731/24245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32731 ÷ 216
    32731 ÷ 65536     		x = 0.499435424804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24245 ÷ 216
    24245 ÷ 65536     		y = 0.369949340820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499435424804688 × 2 - 1) × π
    -0.001129150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00354733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369949340820312 × 2 - 1) × π
    0.260101318359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.817132390923477
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00354733} λ = -0.00354733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.817132390923477))-π/2
    2×atan(2.26399825803954)-π/2
    2×1.15486905045201-π/2
    2.30973810090401-1.57079632675     		φ = 0.73894177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00354733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.203247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73894177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.338245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32731 KachelY 24245 -0.00354733 0.73894177 -0.203247 42.338245
    Oben rechts KachelX + 1 32732 KachelY 24245 -0.00345146 0.73894177 -0.197754 42.338245
    Unten links KachelX 32731 KachelY + 1 24246 -0.00354733 0.73887090 -0.203247 42.334184
    Unten rechts KachelX + 1 32732 KachelY + 1 24246 -0.00345146 0.73887090 -0.197754 42.334184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73894177-0.73887090) × R
    7.08700000000562e-05 × 6371000     		dl = 451.512770000358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73894177-0.73887090) × R
    7.08700000000562e-05 × 6371000     		dr = 451.512770000358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00354733--0.00345146) × cos(0.73894177) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.739181696805892 × 6371000     		do = 451.483140216887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00354733--0.00345146) × cos(0.73887090) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.739229426324362 × 6371000     		du = 451.512292823037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73894177)-sin(0.73887090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739181696805892-0.739229426324362)×R²
    abs(-0.00345146--0.00354733)×4.77295184700965e-05×R²
    9.58700000000001e-05×4.77295184700965e-05×6371000²
    9.58700000000001e-05×4.77295184700965e-05×40589641000000     		ar = 203856.984719929m²