Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32730 / 23130
↖ ↑ ↗
← N 46.702202°
W  0.208740°		 ← 418.87 m → N 46.702202°
W  0.203247°		 →
↑
418.96 m
↓
↑
418.96 m
↓
N 46.698435°
W  0.208740°		 ← 418.90 m →
175 496 m²		 N 46.698435°
W  0.203247°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499427795410156 y=0.352943420410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499427795410156 × 216)
    floor (0.499427795410156 × 65536)
    floor (32730.5)     		tx = 32730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352943420410156 × 216)
    floor (0.352943420410156 × 65536)
    floor (23130.5)     		ty = 23130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32730 / 23130 ti = "16/32730/23130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32730/23130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32730 ÷ 216
    32730 ÷ 65536     		x = 0.499420166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23130 ÷ 216
    23130 ÷ 65536     		y = 0.352935791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499420166015625 × 2 - 1) × π
    -0.00115966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00364320
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352935791015625 × 2 - 1) × π
    0.29412841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.924031677076202
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00364320} λ = -0.00364320}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.924031677076202))-π/2
    2×atan(2.5194274594433)-π/2
    2×1.19295176112747-π/2
    2.38590352225494-1.57079632675     		φ = 0.81510720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00364320} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.208740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81510720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.702202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32730 KachelY 23130 -0.00364320 0.81510720 -0.208740 46.702202
    Oben rechts KachelX + 1 32731 KachelY 23130 -0.00354733 0.81510720 -0.203247 46.702202
    Unten links KachelX 32730 KachelY + 1 23131 -0.00364320 0.81504144 -0.208740 46.698435
    Unten rechts KachelX + 1 32731 KachelY + 1 23131 -0.00354733 0.81504144 -0.203247 46.698435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81510720-0.81504144) × R
    6.57600000000258e-05 × 6371000     		dl = 418.956960000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81510720-0.81504144) × R
    6.57600000000258e-05 × 6371000     		dr = 418.956960000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00364320--0.00354733) × cos(0.81510720) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.685790377331772 × 6371000     		do = 418.872375257932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00364320--0.00354733) × cos(0.81504144) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.685838235919028 × 6371000     		du = 418.901606697717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81510720)-sin(0.81504144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685790377331772-0.685838235919028)×R²
    abs(-0.00354733--0.00364320)×4.78585872561998e-05×R²
    9.58700000000001e-05×4.78585872561998e-05×6371000²
    9.58700000000001e-05×4.78585872561998e-05×40589641000000     		ar = 175495.620386685m²