Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32729 / 24247
↖ ↑ ↗
← N 42.330124°
W  0.214234°		 ← 451.59 m → N 42.330124°
W  0.208740°		 →
↑
451.58 m
↓
↑
451.58 m
↓
N 42.326062°
W  0.214234°		 ← 451.62 m →
203 933 m²		 N 42.326062°
W  0.208740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499412536621094 y=0.369987487792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499412536621094 × 216)
    floor (0.499412536621094 × 65536)
    floor (32729.5)     		tx = 32729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369987487792969 × 216)
    floor (0.369987487792969 × 65536)
    floor (24247.5)     		ty = 24247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32729 / 24247 ti = "16/32729/24247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32729/24247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32729 ÷ 216
    32729 ÷ 65536     		x = 0.499404907226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24247 ÷ 216
    24247 ÷ 65536     		y = 0.369979858398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499404907226562 × 2 - 1) × π
    -0.001190185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00373908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369979858398438 × 2 - 1) × π
    0.260040283203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.816940643324997
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00373908} λ = -0.00373908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.816940643324997))-π/2
    2×atan(2.26356418342831)-π/2
    2×1.15479817771864-π/2
    2.30959635543728-1.57079632675     		φ = 0.73880003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00373908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.214234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73880003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.330124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32729 KachelY 24247 -0.00373908 0.73880003 -0.214234 42.330124
    Oben rechts KachelX + 1 32730 KachelY 24247 -0.00364320 0.73880003 -0.208740 42.330124
    Unten links KachelX 32729 KachelY + 1 24248 -0.00373908 0.73872915 -0.214234 42.326062
    Unten rechts KachelX + 1 32730 KachelY + 1 24248 -0.00364320 0.73872915 -0.208740 42.326062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73880003-0.73872915) × R
    7.08800000001064e-05 × 6371000     		dl = 451.576480000678m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73880003-0.73872915) × R
    7.08800000001064e-05 × 6371000     		dr = 451.576480000678m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00373908--0.00364320) × cos(0.73880003) × R
    9.588e-05 × 0.73927715213001 × 6371000     		do = 451.588542508802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00373908--0.00364320) × cos(0.73872915) × R
    9.588e-05 × 0.739324880956086 × 6371000     		du = 451.617697732849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73880003)-sin(0.73872915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73927715213001-0.739324880956086)×R²
    abs(-0.00364320--0.00373908)×4.77288260756215e-05×R²
    9.588e-05×4.77288260756215e-05×6371000²
    9.588e-05×4.77288260756215e-05×40589641000000     		ar = 203933.347426767m²