Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32729 / 22378
↖ ↑ ↗
← N 49.460984°
W  0.214234°		 ← 397.03 m → N 49.460984°
W  0.208740°		 →
↑
397.04 m
↓
↑
397.04 m
↓
N 49.457413°
W  0.214234°		 ← 397.06 m →
157 644 m²		 N 49.457413°
W  0.208740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499412536621094 y=0.341468811035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499412536621094 × 216)
    floor (0.499412536621094 × 65536)
    floor (32729.5)     		tx = 32729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341468811035156 × 216)
    floor (0.341468811035156 × 65536)
    floor (22378.5)     		ty = 22378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32729 / 22378 ti = "16/32729/22378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32729/22378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32729 ÷ 216
    32729 ÷ 65536     		x = 0.499404907226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22378 ÷ 216
    22378 ÷ 65536     		y = 0.341461181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499404907226562 × 2 - 1) × π
    -0.001190185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00373908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341461181640625 × 2 - 1) × π
    0.31707763671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.996128774104767
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00373908} λ = -0.00373908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.996128774104767))-π/2
    2×atan(2.70777908781147)-π/2
    2×1.217026673127-π/2
    2.434053346254-1.57079632675     		φ = 0.86325702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00373908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.214234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86325702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.460984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32729 KachelY 22378 -0.00373908 0.86325702 -0.214234 49.460984
    Oben rechts KachelX + 1 32730 KachelY 22378 -0.00364320 0.86325702 -0.208740 49.460984
    Unten links KachelX 32729 KachelY + 1 22379 -0.00373908 0.86319470 -0.214234 49.457413
    Unten rechts KachelX + 1 32730 KachelY + 1 22379 -0.00364320 0.86319470 -0.208740 49.457413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86325702-0.86319470) × R
    6.23200000000601e-05 × 6371000     		dl = 397.040720000383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86325702-0.86319470) × R
    6.23200000000601e-05 × 6371000     		dr = 397.040720000383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00373908--0.00364320) × cos(0.86325702) × R
    9.588e-05 × 0.649965703560135 × 6371000     		do = 397.03251196895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00373908--0.00364320) × cos(0.86319470) × R
    9.588e-05 × 0.650013063225839 × 6371000     		du = 397.061441690837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86325702)-sin(0.86319470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649965703560135-0.650013063225839)×R²
    abs(-0.00364320--0.00373908)×4.73596657042386e-05×R²
    9.588e-05×4.73596657042386e-05×6371000²
    9.588e-05×4.73596657042386e-05×40589641000000     		ar = 157643.817605657m²