Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32728 / 23128
↖ ↑ ↗
← N 46.709736°
W  0.219726°		 ← 418.81 m → N 46.709736°
W  0.214234°		 →
↑
418.83 m
↓
↑
418.83 m
↓
N 46.705969°
W  0.219726°		 ← 418.84 m →
175 418 m²		 N 46.705969°
W  0.214234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499397277832031 y=0.352912902832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499397277832031 × 216)
    floor (0.499397277832031 × 65536)
    floor (32728.5)     		tx = 32728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352912902832031 × 216)
    floor (0.352912902832031 × 65536)
    floor (23128.5)     		ty = 23128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32728 / 23128 ti = "16/32728/23128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32728/23128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32728 ÷ 216
    32728 ÷ 65536     		x = 0.4993896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23128 ÷ 216
    23128 ÷ 65536     		y = 0.3529052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4993896484375 × 2 - 1) × π
    -0.001220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00383495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3529052734375 × 2 - 1) × π
    0.294189453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.924223424674683
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00383495} λ = -0.00383495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.924223424674683))-π/2
    2×atan(2.51991059992723)-π/2
    2×1.19301750586899-π/2
    2.38603501173797-1.57079632675     		φ = 0.81523868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00383495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.219726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81523868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.709736°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32728 KachelY 23128 -0.00383495 0.81523868 -0.219726 46.709736
    Oben rechts KachelX + 1 32729 KachelY 23128 -0.00373908 0.81523868 -0.214234 46.709736
    Unten links KachelX 32728 KachelY + 1 23129 -0.00383495 0.81517294 -0.219726 46.705969
    Unten rechts KachelX + 1 32729 KachelY + 1 23129 -0.00373908 0.81517294 -0.214234 46.705969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81523868-0.81517294) × R
    6.57400000000363e-05 × 6371000     		dl = 418.829540000231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81523868-0.81517294) × R
    6.57400000000363e-05 × 6371000     		dr = 418.829540000231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00383495--0.00373908) × cos(0.81523868) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.685694680376189 × 6371000     		do = 418.813924727835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00383495--0.00373908) × cos(0.81517294) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.685742530335783 × 6371000     		du = 418.843150897951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81523868)-sin(0.81517294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685694680376189-0.685742530335783)×R²
    abs(-0.00373908--0.00383495)×4.78499595947257e-05×R²
    9.58700000000001e-05×4.78499595947257e-05×6371000²
    9.58700000000001e-05×4.78499595947257e-05×40589641000000     		ar = 175417.763894415m²