Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32727 / 32861
↖ ↑ ↗
← S  0.510858°
W  0.225220°		 ← 610.83 m → S  0.510858°
W  0.219726°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
S  0.516351°
W  0.225220°		 ← 610.83 m →
373 086 m²		 S  0.516351°
W  0.219726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499382019042969 y=0.501426696777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499382019042969 × 216)
    floor (0.499382019042969 × 65536)
    floor (32727.5)     		tx = 32727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501426696777344 × 216)
    floor (0.501426696777344 × 65536)
    floor (32861.5)     		ty = 32861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32727 / 32861 ti = "16/32727/32861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32727/32861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32727 ÷ 216
    32727 ÷ 65536     		x = 0.499374389648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32861 ÷ 216
    32861 ÷ 65536     		y = 0.501419067382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499374389648438 × 2 - 1) × π
    -0.001251220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00393083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501419067382812 × 2 - 1) × π
    -0.002838134765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.00891626332933044
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00393083} λ = -0.00393083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00891626332933044))-π/2
    2×atan(0.991123368669302)-π/2
    2×0.780940090801669-π/2
    1.56188018160334-1.57079632675     		φ = -0.00891615
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00393083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.225220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00891615 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.510858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32727 KachelY 32861 -0.00393083 -0.00891615 -0.225220 -0.510858
    Oben rechts KachelX + 1 32728 KachelY 32861 -0.00383495 -0.00891615 -0.219726 -0.510858
    Unten links KachelX 32727 KachelY + 1 32862 -0.00393083 -0.00901202 -0.225220 -0.516351
    Unten rechts KachelX + 1 32728 KachelY + 1 32862 -0.00383495 -0.00901202 -0.219726 -0.516351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00891615--0.00901202) × R
    9.58700000000014e-05 × 6371000     		dl = 610.787770000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00891615--0.00901202) × R
    9.58700000000014e-05 × 6371000     		dr = 610.787770000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00393083--0.00383495) × cos(-0.00891615) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.999960251397917 × 6371000     		do = 610.827199507587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00393083--0.00383495) × cos(-0.00901202) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.999959392022597 × 6371000     		du = 610.826674556901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00891615)-sin(-0.00901202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999960251397917-0.999959392022597)×R²
    abs(-0.00383495--0.00393083)×8.59375319350875e-07×R²
    9.58799999999996e-05×8.59375319350875e-07×6371000²
    9.58799999999996e-05×8.59375319350875e-07×40589641000000     		ar = 373085.623011611m²