Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32727 / 24011
↖ ↑ ↗
← N 43.281204°
W  0.225220°		 ← 444.70 m → N 43.281204°
W  0.219726°		 →
↑
444.70 m
↓
↑
444.70 m
↓
N 43.277205°
W  0.225220°		 ← 444.73 m →
197 762 m²		 N 43.277205°
W  0.219726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499382019042969 y=0.366386413574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499382019042969 × 216)
    floor (0.499382019042969 × 65536)
    floor (32727.5)     		tx = 32727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366386413574219 × 216)
    floor (0.366386413574219 × 65536)
    floor (24011.5)     		ty = 24011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32727 / 24011 ti = "16/32727/24011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32727/24011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32727 ÷ 216
    32727 ÷ 65536     		x = 0.499374389648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24011 ÷ 216
    24011 ÷ 65536     		y = 0.366378784179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499374389648438 × 2 - 1) × π
    -0.001251220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00393083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366378784179688 × 2 - 1) × π
    0.267242431640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.839566859945663
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00393083} λ = -0.00393083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.839566859945663))-π/2
    2×atan(2.3153638827187)-π/2
    2×1.16309792445445-π/2
    2.3261958489089-1.57079632675     		φ = 0.75539952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00393083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.225220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75539952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.281204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32727 KachelY 24011 -0.00393083 0.75539952 -0.225220 43.281204
    Oben rechts KachelX + 1 32728 KachelY 24011 -0.00383495 0.75539952 -0.219726 43.281204
    Unten links KachelX 32727 KachelY + 1 24012 -0.00393083 0.75532972 -0.225220 43.277205
    Unten rechts KachelX + 1 32728 KachelY + 1 24012 -0.00383495 0.75532972 -0.219726 43.277205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75539952-0.75532972) × R
    6.98000000000087e-05 × 6371000     		dl = 444.695800000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75539952-0.75532972) × R
    6.98000000000087e-05 × 6371000     		dr = 444.695800000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00393083--0.00383495) × cos(0.75539952) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.72799769853909 × 6371000     		do = 444.698471589195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00393083--0.00383495) × cos(0.75532972) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.72804555021983 × 6371000     		du = 444.727701859196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75539952)-sin(0.75532972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72799769853909-0.72804555021983)×R²
    abs(-0.00383495--0.00393083)×4.78516807399521e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.78516807399521e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.78516807399521e-05×40589641000000     		ar = 197762.041951775m²