Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32727 / 22297
↖ ↑ ↗
← N 49.749331°
W  0.225220°		 ← 394.69 m → N 49.749331°
W  0.219726°		 →
↑
394.68 m
↓
↑
394.68 m
↓
N 49.745781°
W  0.225220°		 ← 394.72 m →
155 784 m²		 N 49.745781°
W  0.219726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499382019042969 y=0.340232849121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499382019042969 × 216)
    floor (0.499382019042969 × 65536)
    floor (32727.5)     		tx = 32727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340232849121094 × 216)
    floor (0.340232849121094 × 65536)
    floor (22297.5)     		ty = 22297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32727 / 22297 ti = "16/32727/22297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32727/22297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32727 ÷ 216
    32727 ÷ 65536     		x = 0.499374389648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22297 ÷ 216
    22297 ÷ 65536     		y = 0.340225219726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499374389648438 × 2 - 1) × π
    -0.001251220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00393083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340225219726562 × 2 - 1) × π
    0.319549560546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00389455184322
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00393083} λ = -0.00393083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00389455184322))-π/2
    2×atan(2.72888895956846)-π/2
    2×1.21954297451385-π/2
    2.4390859490277-1.57079632675     		φ = 0.86828962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00393083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.225220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86828962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.749331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32727 KachelY 22297 -0.00393083 0.86828962 -0.225220 49.749331
    Oben rechts KachelX + 1 32728 KachelY 22297 -0.00383495 0.86828962 -0.219726 49.749331
    Unten links KachelX 32727 KachelY + 1 22298 -0.00393083 0.86822767 -0.225220 49.745781
    Unten rechts KachelX + 1 32728 KachelY + 1 22298 -0.00383495 0.86822767 -0.219726 49.745781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86828962-0.86822767) × R
    6.19499999999773e-05 × 6371000     		dl = 394.683449999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86828962-0.86822767) × R
    6.19499999999773e-05 × 6371000     		dr = 394.683449999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00393083--0.00383495) × cos(0.86828962) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.64613289634244 × 6371000     		do = 394.691236007465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00393083--0.00383495) × cos(0.86822767) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.64618017688641 × 6371000     		du = 394.720117397724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86828962)-sin(0.86822767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64613289634244-0.64618017688641)×R²
    abs(-0.00383495--0.00393083)×4.7280543969741e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.7280543969741e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.7280543969741e-05×40589641000000     		ar = 155783.798265384m²