Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32727 / 21610
↖ ↑ ↗
← N 52.126744°
W  0.225220°		 ← 375.01 m → N 52.126744°
W  0.219726°		 →
↑
375 m
↓
↑
375 m
↓
N 52.123372°
W  0.225220°		 ← 375.04 m →
140 634 m²		 N 52.123372°
W  0.219726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499382019042969 y=0.329750061035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499382019042969 × 216)
    floor (0.499382019042969 × 65536)
    floor (32727.5)     		tx = 32727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329750061035156 × 216)
    floor (0.329750061035156 × 65536)
    floor (21610.5)     		ty = 21610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32727 / 21610 ti = "16/32727/21610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32727/21610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32727 ÷ 216
    32727 ÷ 65536     		x = 0.499374389648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21610 ÷ 216
    21610 ÷ 65536     		y = 0.329742431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499374389648438 × 2 - 1) × π
    -0.001251220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00393083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329742431640625 × 2 - 1) × π
    0.34051513671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06975985192117
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00393083} λ = -0.00393083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06975985192117))-π/2
    2×atan(2.91467946125087)-π/2
    2×1.24028981773532-π/2
    2.48057963547063-1.57079632675     		φ = 0.90978331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00393083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.225220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90978331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.126744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32727 KachelY 21610 -0.00393083 0.90978331 -0.225220 52.126744
    Oben rechts KachelX + 1 32728 KachelY 21610 -0.00383495 0.90978331 -0.219726 52.126744
    Unten links KachelX 32727 KachelY + 1 21611 -0.00393083 0.90972445 -0.225220 52.123372
    Unten rechts KachelX + 1 32728 KachelY + 1 21611 -0.00383495 0.90972445 -0.219726 52.123372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90978331-0.90972445) × R
    5.88599999999939e-05 × 6371000     		dl = 374.997059999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90978331-0.90972445) × R
    5.88599999999939e-05 × 6371000     		dr = 374.997059999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00393083--0.00383495) × cos(0.90978331) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.613916812643747 × 6371000     		do = 375.011993600314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00393083--0.00383495) × cos(0.90972445) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.613963273941347 × 6371000     		du = 375.040374552716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90978331)-sin(0.90972445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613916812643747-0.613963273941347)×R²
    abs(-0.00383495--0.00393083)×4.6461297600664e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.6461297600664e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.6461297600664e-05×40589641000000     		ar = 140633.716492084m²