Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32726 / 21658
↖ ↑ ↗
← N 51.964577°
W  0.230713°		 ← 376.34 m → N 51.964577°
W  0.225220°		 →
↑
376.40 m
↓
↑
376.40 m
↓
N 51.961192°
W  0.230713°		 ← 376.36 m →
141 658 m²		 N 51.961192°
W  0.225220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499366760253906 y=0.330482482910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499366760253906 × 216)
    floor (0.499366760253906 × 65536)
    floor (32726.5)     		tx = 32726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330482482910156 × 216)
    floor (0.330482482910156 × 65536)
    floor (21658.5)     		ty = 21658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32726 / 21658 ti = "16/32726/21658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32726/21658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32726 ÷ 216
    32726 ÷ 65536     		x = 0.499359130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21658 ÷ 216
    21658 ÷ 65536     		y = 0.330474853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499359130859375 × 2 - 1) × π
    -0.00128173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00402670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330474853515625 × 2 - 1) × π
    0.33905029296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06515790955765
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00402670} λ = -0.00402670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06515790955765))-π/2
    2×atan(2.90129709042915)-π/2
    2×1.2388746458756-π/2
    2.4777492917512-1.57079632675     		φ = 0.90695297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00402670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.230713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90695297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.964577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32726 KachelY 21658 -0.00402670 0.90695297 -0.230713 51.964577
    Oben rechts KachelX + 1 32727 KachelY 21658 -0.00393083 0.90695297 -0.225220 51.964577
    Unten links KachelX 32726 KachelY + 1 21659 -0.00402670 0.90689389 -0.230713 51.961192
    Unten rechts KachelX + 1 32727 KachelY + 1 21659 -0.00393083 0.90689389 -0.225220 51.961192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90695297-0.90689389) × R
    5.90799999999891e-05 × 6371000     		dl = 376.398679999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90695297-0.90689389) × R
    5.90799999999891e-05 × 6371000     		dr = 376.398679999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00402670--0.00393083) × cos(0.90695297) × R
    9.58700000000005e-05 × 0.61614853822047 × 6371000     		do = 376.335991648443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00402670--0.00393083) × cos(0.90689389) × R
    9.58700000000005e-05 × 0.616195070324099 × 6371000     		du = 376.364412888252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90695297)-sin(0.90689389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61614853822047-0.616195070324099)×R²
    abs(-0.00393083--0.00402670)×4.65321036290378e-05×R²
    9.58700000000005e-05×4.65321036290378e-05×6371000²
    9.58700000000005e-05×4.65321036290378e-05×40589641000000     		ar = 141657.719392543m²