Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32725 / 32889
↖ ↑ ↗
← S  0.664658°
W  0.236206°		 ← 610.75 m → S  0.664658°
W  0.230713°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
S  0.670151°
W  0.236206°		 ← 610.75 m →
373 036 m²		 S  0.670151°
W  0.230713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499351501464844 y=0.501853942871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499351501464844 × 216)
    floor (0.499351501464844 × 65536)
    floor (32725.5)     		tx = 32725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501853942871094 × 216)
    floor (0.501853942871094 × 65536)
    floor (32889.5)     		ty = 32889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32725 / 32889 ti = "16/32725/32889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32725/32889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32725 ÷ 216
    32725 ÷ 65536     		x = 0.499343872070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32889 ÷ 216
    32889 ÷ 65536     		y = 0.501846313476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499343872070312 × 2 - 1) × π
    -0.001312255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00412257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501846313476562 × 2 - 1) × π
    -0.003692626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0116007297080536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00412257} λ = -0.00412257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0116007297080536))-π/2
    2×atan(0.98846629931127)-π/2
    2×0.77959792863826-π/2
    1.55919585727652-1.57079632675     		φ = -0.01160047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00412257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.236206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01160047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.664658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32725 KachelY 32889 -0.00412257 -0.01160047 -0.236206 -0.664658
    Oben rechts KachelX + 1 32726 KachelY 32889 -0.00402670 -0.01160047 -0.230713 -0.664658
    Unten links KachelX 32725 KachelY + 1 32890 -0.00412257 -0.01169634 -0.236206 -0.670151
    Unten rechts KachelX + 1 32726 KachelY + 1 32890 -0.00402670 -0.01169634 -0.230713 -0.670151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01160047--0.01169634) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dl = 610.787769999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01160047--0.01169634) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dr = 610.787769999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00412257--0.00402670) × cos(-0.01160047) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.999932715302442 × 6371000     		do = 610.746673329621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00412257--0.00402670) × cos(-0.01169634) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.999931598595108 × 6371000     		du = 610.745991258439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01160047)-sin(-0.01169634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999932715302442-0.999931598595108)×R²
    abs(-0.00402670--0.00412257)×1.11670733304869e-06×R²
    9.58699999999996e-05×1.11670733304869e-06×6371000²
    9.58699999999996e-05×1.11670733304869e-06×40589641000000     		ar = 373036.390623265m²