Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32725 / 32886
S  0.648180°
W  0.236206°
← 610.75 m → S  0.648180°
W  0.230713°

610.72 m

610.72 m
S  0.653672°
W  0.236206°
← 610.75 m →
372 999 m²
S  0.653672°
W  0.230713°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499351501464844 y=0.501808166503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499351501464844 × 216)
    floor (0.499351501464844 × 65536)
    floor (32725.5)
    tx = 32725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501808166503906 × 216)
    floor (0.501808166503906 × 65536)
    floor (32886.5)
    ty = 32886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32725 / 32886 ti = "16/32725/32886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32725/32886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32725 ÷ 216
    32725 ÷ 65536
    x = 0.499343872070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32886 ÷ 216
    32886 ÷ 65536
    y = 0.501800537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.499343872070312 × 2 - 1) × π
    -0.001312255859375 × 3.1415926535
    Λ = -0.00412257
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.501800537109375 × 2 - 1) × π
    -0.00360107421875 × 3.1415926535
    Φ = -0.0113131083103333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00412257} λ = -0.00412257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0113131083103333))-π/2
    2×atan(0.988750644259763)-π/2
    2×0.779741729898773-π/2
    1.55948345979755-1.57079632675
    φ = -0.01131287
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00412257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.236206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01131287 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.648180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32725 KachelY 32886 -0.00412257 -0.01131287 -0.236206 -0.648180
    Oben rechts KachelX + 1 32726 KachelY 32886 -0.00402670 -0.01131287 -0.230713 -0.648180
    Unten links KachelX 32725 KachelY + 1 32887 -0.00412257 -0.01140873 -0.236206 -0.653672
    Unten rechts KachelX + 1 32726 KachelY + 1 32887 -0.00402670 -0.01140873 -0.230713 -0.653672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-0.01131287--0.01140873) × R
    9.58600000000014e-05 × 6371000
    dl = 610.724060000009m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-0.01131287--0.01140873) × R
    9.58600000000014e-05 × 6371000
    dr = 610.724060000009m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00412257--0.00402670) × cos(-0.01131287) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.999936010168643 × 6371000
    do = 610.7486857936m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00412257--0.00402670) × cos(-0.01140873) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.999934921145782 × 6371000
    du = 610.748020631756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-0.01131287)-sin(-0.01140873))×
    abs(λ12)×abs(0.999936010168643-0.999934921145782)×
    abs(-0.00402670--0.00412257)×1.08902286100054e-06×
    9.58699999999996e-05×1.08902286100054e-06×6371000²
    9.58699999999996e-05×1.08902286100054e-06×40589641000000
    ar = 372998.714197994m²