Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32725 / 22231
↖ ↑ ↗
← N 49.983020°
W  0.236206°		 ← 392.75 m → N 49.983020°
W  0.230713°		 →
↑
392.77 m
↓
↑
392.77 m
↓
N 49.979488°
W  0.236206°		 ← 392.77 m →
154 265 m²		 N 49.979488°
W  0.230713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499351501464844 y=0.339225769042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499351501464844 × 216)
    floor (0.499351501464844 × 65536)
    floor (32725.5)     		tx = 32725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339225769042969 × 216)
    floor (0.339225769042969 × 65536)
    floor (22231.5)     		ty = 22231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32725 / 22231 ti = "16/32725/22231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32725/22231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32725 ÷ 216
    32725 ÷ 65536     		x = 0.499343872070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22231 ÷ 216
    22231 ÷ 65536     		y = 0.339218139648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499343872070312 × 2 - 1) × π
    -0.001312255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00412257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339218139648438 × 2 - 1) × π
    0.321563720703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01022222259306
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00412257} λ = -0.00412257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01022222259306))-π/2
    2×atan(2.74621121739186)-π/2
    2×1.22158229859187-π/2
    2.44316459718375-1.57079632675     		φ = 0.87236827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00412257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.236206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87236827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.983020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32725 KachelY 22231 -0.00412257 0.87236827 -0.236206 49.983020
    Oben rechts KachelX + 1 32726 KachelY 22231 -0.00402670 0.87236827 -0.230713 49.983020
    Unten links KachelX 32725 KachelY + 1 22232 -0.00412257 0.87230662 -0.236206 49.979488
    Unten rechts KachelX + 1 32726 KachelY + 1 22232 -0.00402670 0.87230662 -0.230713 49.979488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87236827-0.87230662) × R
    6.16499999999132e-05 × 6371000     		dl = 392.772149999447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87236827-0.87230662) × R
    6.16499999999132e-05 × 6371000     		dr = 392.772149999447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00412257--0.00402670) × cos(0.87236827) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.643014603321015 × 6371000     		do = 392.745455639876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00412257--0.00402670) × cos(0.87230662) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.643061816992917 × 6371000     		du = 392.77429317325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87236827)-sin(0.87230662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643014603321015-0.643061816992917)×R²
    abs(-0.00402670--0.00412257)×4.72136719017469e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.72136719017469e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.72136719017469e-05×40589641000000     		ar = 154265.140353307m²