Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32725 / 21659
↖ ↑ ↗
← N 51.961192°
W  0.236206°		 ← 376.36 m → N 51.961192°
W  0.230713°		 →
↑
376.40 m
↓
↑
376.40 m
↓
N 51.957807°
W  0.236206°		 ← 376.39 m →
141 668 m²		 N 51.957807°
W  0.230713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499351501464844 y=0.330497741699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499351501464844 × 216)
    floor (0.499351501464844 × 65536)
    floor (32725.5)     		tx = 32725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330497741699219 × 216)
    floor (0.330497741699219 × 65536)
    floor (21659.5)     		ty = 21659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32725 / 21659 ti = "16/32725/21659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32725/21659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32725 ÷ 216
    32725 ÷ 65536     		x = 0.499343872070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21659 ÷ 216
    21659 ÷ 65536     		y = 0.330490112304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499343872070312 × 2 - 1) × π
    -0.001312255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00412257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330490112304688 × 2 - 1) × π
    0.339019775390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06506203575841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00412257} λ = -0.00412257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06506203575841))-π/2
    2×atan(2.90101894538799)-π/2
    2×1.23884510850959-π/2
    2.47769021701917-1.57079632675     		φ = 0.90689389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00412257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.236206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90689389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.961192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32725 KachelY 21659 -0.00412257 0.90689389 -0.236206 51.961192
    Oben rechts KachelX + 1 32726 KachelY 21659 -0.00402670 0.90689389 -0.230713 51.961192
    Unten links KachelX 32725 KachelY + 1 21660 -0.00412257 0.90683481 -0.236206 51.957807
    Unten rechts KachelX + 1 32726 KachelY + 1 21660 -0.00402670 0.90683481 -0.230713 51.957807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90689389-0.90683481) × R
    5.90799999999891e-05 × 6371000     		dl = 376.398679999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90689389-0.90683481) × R
    5.90799999999891e-05 × 6371000     		dr = 376.398679999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00412257--0.00402670) × cos(0.90689389) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.616195070324099 × 6371000     		do = 376.364412888248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00412257--0.00402670) × cos(0.90683481) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.616241600276933 × 6371000     		du = 376.392832814378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90689389)-sin(0.90683481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616195070324099-0.616241600276933)×R²
    abs(-0.00402670--0.00412257)×4.65299528332741e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.65299528332741e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.65299528332741e-05×40589641000000     		ar = 141668.416862687m²