Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32724 / 22330
↖ ↑ ↗
← N 49.632062°
W  0.241699°		 ← 395.64 m → N 49.632062°
W  0.236206°		 →
↑
395.64 m
↓
↑
395.64 m
↓
N 49.628504°
W  0.241699°		 ← 395.67 m →
156 538 m²		 N 49.628504°
W  0.236206°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499336242675781 y=0.340736389160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499336242675781 × 216)
    floor (0.499336242675781 × 65536)
    floor (32724.5)     		tx = 32724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340736389160156 × 216)
    floor (0.340736389160156 × 65536)
    floor (22330.5)     		ty = 22330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32724 / 22330 ti = "16/32724/22330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32724/22330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32724 ÷ 216
    32724 ÷ 65536     		x = 0.49932861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22330 ÷ 216
    22330 ÷ 65536     		y = 0.340728759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49932861328125 × 2 - 1) × π
    -0.0013427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00421845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340728759765625 × 2 - 1) × π
    0.31854248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00073071646829
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00421845} λ = -0.00421845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00073071646829))-π/2
    2×atan(2.72026884764197)-π/2
    2×1.2185196111028-π/2
    2.4370392222056-1.57079632675     		φ = 0.86624290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00421845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.241699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86624290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.632062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32724 KachelY 22330 -0.00421845 0.86624290 -0.241699 49.632062
    Oben rechts KachelX + 1 32725 KachelY 22330 -0.00412257 0.86624290 -0.236206 49.632062
    Unten links KachelX 32724 KachelY + 1 22331 -0.00421845 0.86618080 -0.241699 49.628504
    Unten rechts KachelX + 1 32725 KachelY + 1 22331 -0.00412257 0.86618080 -0.236206 49.628504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86624290-0.86618080) × R
    6.21000000000649e-05 × 6371000     		dl = 395.639100000413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86624290-0.86618080) × R
    6.21000000000649e-05 × 6371000     		dr = 395.639100000413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00421845--0.00412257) × cos(0.86624290) × R
    9.58800000000004e-05 × 0.647693649617274 × 6371000     		do = 395.644624455315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00421845--0.00412257) × cos(0.86618080) × R
    9.58800000000004e-05 × 0.647740962412407 × 6371000     		du = 395.673525546245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86624290)-sin(0.86618080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647693649617274-0.647740962412407)×R²
    abs(-0.00412257--0.00421845)×4.73127951324814e-05×R²
    9.58800000000004e-05×4.73127951324814e-05×6371000²
    9.58800000000004e-05×4.73127951324814e-05×40589641000000     		ar = 156538.200390769m²