Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32723 / 32890
↖ ↑ ↗
← S  0.670151°
W  0.247192°		 ← 610.75 m → S  0.670151°
W  0.241699°		 →
↑
610.72 m
↓
↑
610.72 m
↓
S  0.675643°
W  0.247192°		 ← 610.75 m →
372 997 m²		 S  0.675643°
W  0.241699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499320983886719 y=0.501869201660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499320983886719 × 216)
    floor (0.499320983886719 × 65536)
    floor (32723.5)     		tx = 32723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501869201660156 × 216)
    floor (0.501869201660156 × 65536)
    floor (32890.5)     		ty = 32890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32723 / 32890 ti = "16/32723/32890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32723/32890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32723 ÷ 216
    32723 ÷ 65536     		x = 0.499313354492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32890 ÷ 216
    32890 ÷ 65536     		y = 0.501861572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499313354492188 × 2 - 1) × π
    -0.001373291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00431432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501861572265625 × 2 - 1) × π
    -0.00372314453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0116966035072937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00431432} λ = -0.00431432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0116966035072937))-π/2
    2×atan(0.988371535834474)-π/2
    2×0.779549994990788-π/2
    1.55909998998158-1.57079632675     		φ = -0.01169634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00431432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.247192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01169634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.670151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32723 KachelY 32890 -0.00431432 -0.01169634 -0.247192 -0.670151
    Oben rechts KachelX + 1 32724 KachelY 32890 -0.00421845 -0.01169634 -0.241699 -0.670151
    Unten links KachelX 32723 KachelY + 1 32891 -0.00431432 -0.01179220 -0.247192 -0.675643
    Unten rechts KachelX + 1 32724 KachelY + 1 32891 -0.00421845 -0.01179220 -0.241699 -0.675643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01169634--0.01179220) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dl = 610.724059999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01169634--0.01179220) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dr = 610.724059999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00431432--0.00421845) × cos(-0.01169634) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.999931598595108 × 6371000     		do = 610.745991258439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00431432--0.00421845) × cos(-0.01179220) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.999930472815266 × 6371000     		du = 610.74530364588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01169634)-sin(-0.01179220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999931598595108-0.999930472815266)×R²
    abs(-0.00421845--0.00431432)×1.12577984201501e-06×R²
    9.58699999999996e-05×1.12577984201501e-06×6371000²
    9.58699999999996e-05×1.12577984201501e-06×40589641000000     		ar = 372997.061724936m²