Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32723 / 21830
↖ ↑ ↗
← N 51.378638°
W  0.247192°		 ← 381.24 m → N 51.378638°
W  0.241699°		 →
↑
381.24 m
↓
↑
381.24 m
↓
N 51.375210°
W  0.247192°		 ← 381.26 m →
145 348 m²		 N 51.375210°
W  0.241699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499320983886719 y=0.333106994628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499320983886719 × 216)
    floor (0.499320983886719 × 65536)
    floor (32723.5)     		tx = 32723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333106994628906 × 216)
    floor (0.333106994628906 × 65536)
    floor (21830.5)     		ty = 21830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32723 / 21830 ti = "16/32723/21830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32723/21830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32723 ÷ 216
    32723 ÷ 65536     		x = 0.499313354492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21830 ÷ 216
    21830 ÷ 65536     		y = 0.333099365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499313354492188 × 2 - 1) × π
    -0.001373291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00431432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333099365234375 × 2 - 1) × π
    0.33380126953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04866761608835
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00431432} λ = -0.00431432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04866761608835))-π/2
    2×atan(2.85384616508031)-π/2
    2×1.23376136459464-π/2
    2.46752272918928-1.57079632675     		φ = 0.89672640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00431432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.247192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89672640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.378638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32723 KachelY 21830 -0.00431432 0.89672640 -0.247192 51.378638
    Oben rechts KachelX + 1 32724 KachelY 21830 -0.00421845 0.89672640 -0.241699 51.378638
    Unten links KachelX 32723 KachelY + 1 21831 -0.00431432 0.89666656 -0.247192 51.375210
    Unten rechts KachelX + 1 32724 KachelY + 1 21831 -0.00421845 0.89666656 -0.241699 51.375210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89672640-0.89666656) × R
    5.98400000000332e-05 × 6371000     		dl = 381.240640000211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89672640-0.89666656) × R
    5.98400000000332e-05 × 6371000     		dr = 381.240640000211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00431432--0.00421845) × cos(0.89672640) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.624170931936729 × 6371000     		do = 381.235971616455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00431432--0.00421845) × cos(0.89666656) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.624217683081945 × 6371000     		du = 381.264526644187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89672640)-sin(0.89666656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624170931936729-0.624217683081945)×R²
    abs(-0.00421845--0.00431432)×4.67511452160174e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.67511452160174e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.67511452160174e-05×40589641000000     		ar = 145348.089022032m²