Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32720 / 24013
↖ ↑ ↗
← N 43.273206°
W  0.263672°		 ← 444.71 m → N 43.273206°
W  0.258179°		 →
↑
444.76 m
↓
↑
444.76 m
↓
N 43.269206°
W  0.263672°		 ← 444.74 m →
197 796 m²		 N 43.269206°
W  0.258179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499275207519531 y=0.366416931152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499275207519531 × 216)
    floor (0.499275207519531 × 65536)
    floor (32720.5)     		tx = 32720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366416931152344 × 216)
    floor (0.366416931152344 × 65536)
    floor (24013.5)     		ty = 24013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32720 / 24013 ti = "16/32720/24013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32720/24013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32720 ÷ 216
    32720 ÷ 65536     		x = 0.499267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24013 ÷ 216
    24013 ÷ 65536     		y = 0.366409301757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499267578125 × 2 - 1) × π
    -0.00146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00460194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366409301757812 × 2 - 1) × π
    0.267181396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.839375112347183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00460194} λ = -0.00460194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.839375112347183))-π/2
    2×atan(2.31491995981651)-π/2
    2×1.1630281239618-π/2
    2.32605624792359-1.57079632675     		φ = 0.75525992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00460194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.263672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75525992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.273206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32720 KachelY 24013 -0.00460194 0.75525992 -0.263672 43.273206
    Oben rechts KachelX + 1 32721 KachelY 24013 -0.00450607 0.75525992 -0.258179 43.273206
    Unten links KachelX 32720 KachelY + 1 24014 -0.00460194 0.75519011 -0.263672 43.269206
    Unten rechts KachelX + 1 32721 KachelY + 1 24014 -0.00450607 0.75519011 -0.258179 43.269206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75525992-0.75519011) × R
    6.9809999999948e-05 × 6371000     		dl = 444.759509999669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75525992-0.75519011) × R
    6.9809999999948e-05 × 6371000     		dr = 444.759509999669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00460194--0.00450607) × cos(0.75525992) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.728093398353503 × 6371000     		do = 444.710543132056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00460194--0.00450607) × cos(0.75519011) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.728141249794147 × 6371000     		du = 444.739770206778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75525992)-sin(0.75519011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728093398353503-0.728141249794147)×R²
    abs(-0.00450607--0.00460194)×4.78514406437869e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.78514406437869e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.78514406437869e-05×40589641000000     		ar = 197795.742844992m²