Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32720 / 24010
↖ ↑ ↗
← N 43.285204°
W  0.263672°		 ← 444.62 m → N 43.285204°
W  0.258179°		 →
↑
444.70 m
↓
↑
444.70 m
↓
N 43.281204°
W  0.263672°		 ← 444.65 m →
197 728 m²		 N 43.281204°
W  0.258179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499275207519531 y=0.366371154785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499275207519531 × 216)
    floor (0.499275207519531 × 65536)
    floor (32720.5)     		tx = 32720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366371154785156 × 216)
    floor (0.366371154785156 × 65536)
    floor (24010.5)     		ty = 24010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32720 / 24010 ti = "16/32720/24010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32720/24010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32720 ÷ 216
    32720 ÷ 65536     		x = 0.499267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24010 ÷ 216
    24010 ÷ 65536     		y = 0.366363525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499267578125 × 2 - 1) × π
    -0.00146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00460194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366363525390625 × 2 - 1) × π
    0.26727294921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.839662733744904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00460194} λ = -0.00460194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.839662733744904))-π/2
    2×atan(2.31558587609226)-π/2
    2×1.16313282126007-π/2
    2.32626564252014-1.57079632675     		φ = 0.75546932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00460194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.263672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75546932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.285204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32720 KachelY 24010 -0.00460194 0.75546932 -0.263672 43.285204
    Oben rechts KachelX + 1 32721 KachelY 24010 -0.00450607 0.75546932 -0.258179 43.285204
    Unten links KachelX 32720 KachelY + 1 24011 -0.00460194 0.75539952 -0.263672 43.281204
    Unten rechts KachelX + 1 32721 KachelY + 1 24011 -0.00450607 0.75539952 -0.258179 43.281204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75546932-0.75539952) × R
    6.98000000000087e-05 × 6371000     		dl = 444.695800000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75546932-0.75539952) × R
    6.98000000000087e-05 × 6371000     		dr = 444.695800000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00460194--0.00450607) × cos(0.75546932) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.727949843311517 × 6371000     		do = 444.622861468089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00460194--0.00450607) × cos(0.75539952) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.72799769853909 × 6371000     		du = 444.652090855822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75546932)-sin(0.75539952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727949843311517-0.72799769853909)×R²
    abs(-0.00450607--0.00460194)×4.78552275738897e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.78552275738897e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.78552275738897e-05×40589641000000     		ar = 197728.418252149m²