Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32715 / 24037
↖ ↑ ↗
← N 43.177141°
W  0.291138°		 ← 445.41 m → N 43.177141°
W  0.285645°		 →
↑
445.46 m
↓
↑
445.46 m
↓
N 43.173135°
W  0.291138°		 ← 445.44 m →
198 420 m²		 N 43.173135°
W  0.285645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499198913574219 y=0.366783142089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499198913574219 × 216)
    floor (0.499198913574219 × 65536)
    floor (32715.5)     		tx = 32715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366783142089844 × 216)
    floor (0.366783142089844 × 65536)
    floor (24037.5)     		ty = 24037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32715 / 24037 ti = "16/32715/24037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32715/24037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32715 ÷ 216
    32715 ÷ 65536     		x = 0.499191284179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24037 ÷ 216
    24037 ÷ 65536     		y = 0.366775512695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499191284179688 × 2 - 1) × π
    -0.001617431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00508131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366775512695312 × 2 - 1) × π
    0.266448974609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.837074141165421
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00508131} λ = -0.00508131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.837074141165421))-π/2
    2×atan(2.30959951913863)-π/2
    2×1.16218980243758-π/2
    2.32437960487515-1.57079632675     		φ = 0.75358328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00508131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.291138°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75358328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.177141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32715 KachelY 24037 -0.00508131 0.75358328 -0.291138 43.177141
    Oben rechts KachelX + 1 32716 KachelY 24037 -0.00498544 0.75358328 -0.285645 43.177141
    Unten links KachelX 32715 KachelY + 1 24038 -0.00508131 0.75351336 -0.291138 43.173135
    Unten rechts KachelX + 1 32716 KachelY + 1 24038 -0.00498544 0.75351336 -0.285645 43.173135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75358328-0.75351336) × R
    6.99199999999456e-05 × 6371000     		dl = 445.460319999653m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75358328-0.75351336) × R
    6.99199999999456e-05 × 6371000     		dr = 445.460319999653m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00508131--0.00498544) × cos(0.75358328) × R
    9.58700000000005e-05 × 0.729241674165411 × 6371000     		do = 445.411895954561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00508131--0.00498544) × cos(0.75351336) × R
    9.58700000000005e-05 × 0.729289515578023 × 6371000     		du = 445.441116904283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75358328)-sin(0.75351336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729241674165411-0.729289515578023)×R²
    abs(-0.00498544--0.00508131)×4.78414126119375e-05×R²
    9.58700000000005e-05×4.78414126119375e-05×6371000²
    9.58700000000005e-05×4.78414126119375e-05×40589641000000     		ar = 198419.834170991m²