Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32713 / 24044
↖ ↑ ↗
← N 43.149094°
W  0.302124°		 ← 445.62 m → N 43.149094°
W  0.296631°		 →
↑
445.65 m
↓
↑
445.65 m
↓
N 43.145086°
W  0.302124°		 ← 445.65 m →
198 596 m²		 N 43.145086°
W  0.296631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499168395996094 y=0.366889953613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499168395996094 × 216)
    floor (0.499168395996094 × 65536)
    floor (32713.5)     		tx = 32713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366889953613281 × 216)
    floor (0.366889953613281 × 65536)
    floor (24044.5)     		ty = 24044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32713 / 24044 ti = "16/32713/24044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32713/24044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32713 ÷ 216
    32713 ÷ 65536     		x = 0.499160766601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24044 ÷ 216
    24044 ÷ 65536     		y = 0.36688232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499160766601562 × 2 - 1) × π
    -0.001678466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00527306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36688232421875 × 2 - 1) × π
    0.2662353515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.83640302457074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00527306} λ = -0.00527306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.83640302457074))-π/2
    2×atan(2.30805002857684)-π/2
    2×1.16194504315802-π/2
    2.32389008631604-1.57079632675     		φ = 0.75309376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00527306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.302124°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75309376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.149094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32713 KachelY 24044 -0.00527306 0.75309376 -0.302124 43.149094
    Oben rechts KachelX + 1 32714 KachelY 24044 -0.00517719 0.75309376 -0.296631 43.149094
    Unten links KachelX 32713 KachelY + 1 24045 -0.00527306 0.75302381 -0.302124 43.145086
    Unten rechts KachelX + 1 32714 KachelY + 1 24045 -0.00517719 0.75302381 -0.296631 43.145086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75309376-0.75302381) × R
    6.99499999999853e-05 × 6371000     		dl = 445.651449999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75309376-0.75302381) × R
    6.99499999999853e-05 × 6371000     		dr = 445.651449999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00527306--0.00517719) × cos(0.75309376) × R
    9.58700000000005e-05 × 0.729576543884985 × 6371000     		do = 445.61643028382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00527306--0.00517719) × cos(0.75302381) × R
    9.58700000000005e-05 × 0.729624380846563 × 6371000     		du = 445.645648514905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75309376)-sin(0.75302381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729576543884985-0.729624380846563)×R²
    abs(-0.00517719--0.00527306)×4.78369615776186e-05×R²
    9.58700000000005e-05×4.78369615776186e-05×6371000²
    9.58700000000005e-05×4.78369615776186e-05×40589641000000     		ar = 198596.118954323m²