Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32713 / 24038
↖ ↑ ↗
← N 43.173135°
W  0.302124°		 ← 445.44 m → N 43.173135°
W  0.296631°		 →
↑
445.46 m
↓
↑
445.46 m
↓
N 43.169129°
W  0.302124°		 ← 445.47 m →
198 433 m²		 N 43.169129°
W  0.296631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499168395996094 y=0.366798400878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499168395996094 × 216)
    floor (0.499168395996094 × 65536)
    floor (32713.5)     		tx = 32713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366798400878906 × 216)
    floor (0.366798400878906 × 65536)
    floor (24038.5)     		ty = 24038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32713 / 24038 ti = "16/32713/24038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32713/24038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32713 ÷ 216
    32713 ÷ 65536     		x = 0.499160766601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24038 ÷ 216
    24038 ÷ 65536     		y = 0.366790771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499160766601562 × 2 - 1) × π
    -0.001678466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00527306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366790771484375 × 2 - 1) × π
    0.26641845703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.83697826736618
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00527306} λ = -0.00527306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.83697826736618))-π/2
    2×atan(2.30937809967234)-π/2
    2×1.16215484370593-π/2
    2.32430968741187-1.57079632675     		φ = 0.75351336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00527306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.302124°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75351336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.173135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32713 KachelY 24038 -0.00527306 0.75351336 -0.302124 43.173135
    Oben rechts KachelX + 1 32714 KachelY 24038 -0.00517719 0.75351336 -0.296631 43.173135
    Unten links KachelX 32713 KachelY + 1 24039 -0.00527306 0.75344344 -0.302124 43.169129
    Unten rechts KachelX + 1 32714 KachelY + 1 24039 -0.00517719 0.75344344 -0.296631 43.169129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75351336-0.75344344) × R
    6.99200000000566e-05 × 6371000     		dl = 445.460320000361m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75351336-0.75344344) × R
    6.99200000000566e-05 × 6371000     		dr = 445.460320000361m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00527306--0.00517719) × cos(0.75351336) × R
    9.58700000000005e-05 × 0.729289515578023 × 6371000     		do = 445.441116904283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00527306--0.00517719) × cos(0.75344344) × R
    9.58700000000005e-05 × 0.72933735342528 × 6371000     		du = 445.470335676331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75351336)-sin(0.75344344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729289515578023-0.72933735342528)×R²
    abs(-0.00517719--0.00527306)×4.78378472567043e-05×R²
    9.58700000000005e-05×4.78378472567043e-05×6371000²
    9.58700000000005e-05×4.78378472567043e-05×40589641000000     		ar = 198432.850460241m²