Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32712 / 22730
↖ ↑ ↗
← N 48.188064°
W  0.307617°		 ← 407.20 m → N 48.188064°
W  0.302124°		 →
↑
407.23 m
↓
↑
407.23 m
↓
N 48.184401°
W  0.307617°		 ← 407.23 m →
165 834 m²		 N 48.184401°
W  0.302124°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499153137207031 y=0.346839904785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499153137207031 × 216)
    floor (0.499153137207031 × 65536)
    floor (32712.5)     		tx = 32712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346839904785156 × 216)
    floor (0.346839904785156 × 65536)
    floor (22730.5)     		ty = 22730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32712 / 22730 ti = "16/32712/22730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32712/22730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32712 ÷ 216
    32712 ÷ 65536     		x = 0.4991455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22730 ÷ 216
    22730 ÷ 65536     		y = 0.346832275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4991455078125 × 2 - 1) × π
    -0.001708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00536893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346832275390625 × 2 - 1) × π
    0.30633544921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.962381196772247
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00536893} λ = -0.00536893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.962381196772247))-π/2
    2×atan(2.61792284680381)-π/2
    2×1.20591834734187-π/2
    2.41183669468374-1.57079632675     		φ = 0.84104037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00536893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.307617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84104037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.188064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32712 KachelY 22730 -0.00536893 0.84104037 -0.307617 48.188064
    Oben rechts KachelX + 1 32713 KachelY 22730 -0.00527306 0.84104037 -0.302124 48.188064
    Unten links KachelX 32712 KachelY + 1 22731 -0.00536893 0.84097645 -0.307617 48.184401
    Unten rechts KachelX + 1 32713 KachelY + 1 22731 -0.00527306 0.84097645 -0.302124 48.184401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84104037-0.84097645) × R
    6.39199999999951e-05 × 6371000     		dl = 407.234319999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84104037-0.84097645) × R
    6.39199999999951e-05 × 6371000     		dr = 407.234319999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00536893--0.00527306) × cos(0.84104037) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.666687760397588 × 6371000     		do = 407.204730459535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00536893--0.00527306) × cos(0.84097645) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.66673540098463 × 6371000     		du = 407.233828747457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84104037)-sin(0.84097645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666687760397588-0.66673540098463)×R²
    abs(-0.00527306--0.00536893)×4.76405870423191e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.76405870423191e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.76405870423191e-05×40589641000000     		ar = 165833.666476649m²