Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32712 / 22713
↖ ↑ ↗
← N 48.250283°
W  0.307617°		 ← 406.71 m → N 48.250283°
W  0.302124°		 →
↑
406.72 m
↓
↑
406.72 m
↓
N 48.246626°
W  0.307617°		 ← 406.74 m →
165 425 m²		 N 48.246626°
W  0.302124°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499153137207031 y=0.346580505371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499153137207031 × 216)
    floor (0.499153137207031 × 65536)
    floor (32712.5)     		tx = 32712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346580505371094 × 216)
    floor (0.346580505371094 × 65536)
    floor (22713.5)     		ty = 22713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32712 / 22713 ti = "16/32712/22713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32712/22713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32712 ÷ 216
    32712 ÷ 65536     		x = 0.4991455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22713 ÷ 216
    22713 ÷ 65536     		y = 0.346572875976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4991455078125 × 2 - 1) × π
    -0.001708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00536893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346572875976562 × 2 - 1) × π
    0.306854248046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.964011051359329
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00536893} λ = -0.00536893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.964011051359329))-π/2
    2×atan(2.62219315941328)-π/2
    2×1.20646131942295-π/2
    2.41292263884589-1.57079632675     		φ = 0.84212631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00536893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.307617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84212631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.250283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32712 KachelY 22713 -0.00536893 0.84212631 -0.307617 48.250283
    Oben rechts KachelX + 1 32713 KachelY 22713 -0.00527306 0.84212631 -0.302124 48.250283
    Unten links KachelX 32712 KachelY + 1 22714 -0.00536893 0.84206247 -0.307617 48.246626
    Unten rechts KachelX + 1 32713 KachelY + 1 22714 -0.00527306 0.84206247 -0.302124 48.246626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84212631-0.84206247) × R
    6.38400000000372e-05 × 6371000     		dl = 406.724640000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84212631-0.84206247) × R
    6.38400000000372e-05 × 6371000     		dr = 406.724640000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00536893--0.00527306) × cos(0.84212631) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.665877976058017 × 6371000     		do = 406.710124088588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00536893--0.00527306) × cos(0.84206247) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.66592560321415 × 6371000     		du = 406.739214173074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84212631)-sin(0.84206247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665877976058017-0.66592560321415)×R²
    abs(-0.00527306--0.00536893)×4.76271561331565e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.76271561331565e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.76271561331565e-05×40589641000000     		ar = 165424.944687831m²