Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32710 / 22729
↖ ↑ ↗
← N 48.191725°
W  0.318603°		 ← 407.18 m → N 48.191725°
W  0.313111°		 →
↑
407.17 m
↓
↑
407.17 m
↓
N 48.188064°
W  0.318603°		 ← 407.20 m →
165 796 m²		 N 48.188064°
W  0.313111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499122619628906 y=0.346824645996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499122619628906 × 216)
    floor (0.499122619628906 × 65536)
    floor (32710.5)     		tx = 32710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346824645996094 × 216)
    floor (0.346824645996094 × 65536)
    floor (22729.5)     		ty = 22729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32710 / 22729 ti = "16/32710/22729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32710/22729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32710 ÷ 216
    32710 ÷ 65536     		x = 0.499114990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22729 ÷ 216
    22729 ÷ 65536     		y = 0.346817016601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499114990234375 × 2 - 1) × π
    -0.00177001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00556068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346817016601562 × 2 - 1) × π
    0.306365966796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.962477070571487
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00556068} λ = -0.00556068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.962477070571487))-π/2
    2×atan(2.61817384904533)-π/2
    2×1.20595030514433-π/2
    2.41190061028866-1.57079632675     		φ = 0.84110428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00556068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.318603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84110428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.191725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32710 KachelY 22729 -0.00556068 0.84110428 -0.318603 48.191725
    Oben rechts KachelX + 1 32711 KachelY 22729 -0.00546481 0.84110428 -0.313111 48.191725
    Unten links KachelX 32710 KachelY + 1 22730 -0.00556068 0.84104037 -0.318603 48.188064
    Unten rechts KachelX + 1 32711 KachelY + 1 22730 -0.00546481 0.84104037 -0.313111 48.188064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84110428-0.84104037) × R
    6.39100000000559e-05 × 6371000     		dl = 407.170610000356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84110428-0.84104037) × R
    6.39100000000559e-05 × 6371000     		dr = 407.170610000356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00556068--0.00546481) × cos(0.84110428) × R
    9.58700000000005e-05 × 0.666640124540412 × 6371000     		do = 407.175635060563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00556068--0.00546481) × cos(0.84104037) × R
    9.58700000000005e-05 × 0.666687760397588 × 6371000     		du = 407.204730459539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84110428)-sin(0.84104037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666640124540412-0.666687760397588)×R²
    abs(-0.00546481--0.00556068)×4.76358571754876e-05×R²
    9.58700000000005e-05×4.76358571754876e-05×6371000²
    9.58700000000005e-05×4.76358571754876e-05×40589641000000     		ar = 165795.875157307m²