Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32709 / 24059
↖ ↑ ↗
← N 43.088949°
W  0.324096°		 ← 446.05 m → N 43.088949°
W  0.318603°		 →
↑
446.03 m
↓
↑
446.03 m
↓
N 43.084938°
W  0.324096°		 ← 446.08 m →
198 962 m²		 N 43.084938°
W  0.318603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499107360839844 y=0.367118835449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499107360839844 × 216)
    floor (0.499107360839844 × 65536)
    floor (32709.5)     		tx = 32709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367118835449219 × 216)
    floor (0.367118835449219 × 65536)
    floor (24059.5)     		ty = 24059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32709 / 24059 ti = "16/32709/24059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32709/24059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32709 ÷ 216
    32709 ÷ 65536     		x = 0.499099731445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24059 ÷ 216
    24059 ÷ 65536     		y = 0.367111206054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499099731445312 × 2 - 1) × π
    -0.001800537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00565655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367111206054688 × 2 - 1) × π
    0.265777587890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.834964917582138
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00565655} λ = -0.00565655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.834964917582138))-π/2
    2×atan(2.30473319125581)-π/2
    2×1.16142018062674-π/2
    2.32284036125347-1.57079632675     		φ = 0.75204403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00565655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.324096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75204403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.088949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32709 KachelY 24059 -0.00565655 0.75204403 -0.324096 43.088949
    Oben rechts KachelX + 1 32710 KachelY 24059 -0.00556068 0.75204403 -0.318603 43.088949
    Unten links KachelX 32709 KachelY + 1 24060 -0.00565655 0.75197402 -0.324096 43.084938
    Unten rechts KachelX + 1 32710 KachelY + 1 24060 -0.00556068 0.75197402 -0.318603 43.084938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75204403-0.75197402) × R
    7.00099999999537e-05 × 6371000     		dl = 446.033709999705m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75204403-0.75197402) × R
    7.00099999999537e-05 × 6371000     		dr = 446.033709999705m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00565655--0.00556068) × cos(0.75204403) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.73029405125041 × 6371000     		do = 446.054675007502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00565655--0.00556068) × cos(0.75197402) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.730341875597 × 6371000     		du = 446.083885533507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75204403)-sin(0.75197402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73029405125041-0.730341875597)×R²
    abs(-0.00556068--0.00565655)×4.78243465897865e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.78243465897865e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.78243465897865e-05×40589641000000     		ar = 198961.936077159m²