Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32709 / 21845
↖ ↑ ↗
← N 51.327179°
W  0.324096°		 ← 381.66 m → N 51.327179°
W  0.318603°		 →
↑
381.69 m
↓
↑
381.69 m
↓
N 51.323746°
W  0.324096°		 ← 381.69 m →
145 682 m²		 N 51.323746°
W  0.318603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499107360839844 y=0.333335876464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499107360839844 × 216)
    floor (0.499107360839844 × 65536)
    floor (32709.5)     		tx = 32709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333335876464844 × 216)
    floor (0.333335876464844 × 65536)
    floor (21845.5)     		ty = 21845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32709 / 21845 ti = "16/32709/21845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32709/21845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32709 ÷ 216
    32709 ÷ 65536     		x = 0.499099731445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21845 ÷ 216
    21845 ÷ 65536     		y = 0.333328247070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499099731445312 × 2 - 1) × π
    -0.001800537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00565655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333328247070312 × 2 - 1) × π
    0.333343505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04722950909975
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00565655} λ = -0.00565655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04722950909975))-π/2
    2×atan(2.84974497864517)-π/2
    2×1.23331230013499-π/2
    2.46662460026999-1.57079632675     		φ = 0.89582827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00565655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.324096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89582827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.327179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32709 KachelY 21845 -0.00565655 0.89582827 -0.324096 51.327179
    Oben rechts KachelX + 1 32710 KachelY 21845 -0.00556068 0.89582827 -0.318603 51.327179
    Unten links KachelX 32709 KachelY + 1 21846 -0.00565655 0.89576836 -0.324096 51.323746
    Unten rechts KachelX + 1 32710 KachelY + 1 21846 -0.00556068 0.89576836 -0.318603 51.323746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89582827-0.89576836) × R
    5.99099999999408e-05 × 6371000     		dl = 381.686609999623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89582827-0.89576836) × R
    5.99099999999408e-05 × 6371000     		dr = 381.686609999623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00565655--0.00556068) × cos(0.89582827) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.624872378126626 × 6371000     		do = 381.664406370557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00565655--0.00556068) × cos(0.89576836) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.624919150354495 × 6371000     		du = 381.692974275315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89582827)-sin(0.89576836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624872378126626-0.624919150354495)×R²
    abs(-0.00556068--0.00565655)×4.67722278688631e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.67722278688631e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.67722278688631e-05×40589641000000     		ar = 145681.645462268m²