Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32708 / 23236
↖ ↑ ↗
← N 46.301406°
W  0.329590°		 ← 422.02 m → N 46.301406°
W  0.324096°		 →
↑
422.02 m
↓
↑
422.02 m
↓
N 46.297611°
W  0.329590°		 ← 422.04 m →
178 103 m²		 N 46.297611°
W  0.324096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499092102050781 y=0.354560852050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499092102050781 × 216)
    floor (0.499092102050781 × 65536)
    floor (32708.5)     		tx = 32708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.354560852050781 × 216)
    floor (0.354560852050781 × 65536)
    floor (23236.5)     		ty = 23236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32708 / 23236 ti = "16/32708/23236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32708/23236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32708 ÷ 216
    32708 ÷ 65536     		x = 0.49908447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23236 ÷ 216
    23236 ÷ 65536     		y = 0.35455322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49908447265625 × 2 - 1) × π
    -0.0018310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00575243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35455322265625 × 2 - 1) × π
    0.2908935546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.91386905435675
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00575243} λ = -0.00575243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.91386905435675))-π/2
    2×atan(2.49395313094508)-π/2
    2×1.18945415623692-π/2
    2.37890831247383-1.57079632675     		φ = 0.80811199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00575243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.329590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80811199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.301406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32708 KachelY 23236 -0.00575243 0.80811199 -0.329590 46.301406
    Oben rechts KachelX + 1 32709 KachelY 23236 -0.00565655 0.80811199 -0.324096 46.301406
    Unten links KachelX 32708 KachelY + 1 23237 -0.00575243 0.80804575 -0.329590 46.297611
    Unten rechts KachelX + 1 32709 KachelY + 1 23237 -0.00565655 0.80804575 -0.324096 46.297611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80811199-0.80804575) × R
    6.62399999999952e-05 × 6371000     		dl = 422.015039999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80811199-0.80804575) × R
    6.62399999999952e-05 × 6371000     		dr = 422.015039999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00575243--0.00565655) × cos(0.80811199) × R
    9.58800000000004e-05 × 0.690864664681021 × 6371000     		do = 422.015702900107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00575243--0.00565655) × cos(0.80804575) × R
    9.58800000000004e-05 × 0.69091255363239 × 6371000     		du = 422.044955936927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80811199)-sin(0.80804575))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690864664681021-0.69091255363239)×R²
    abs(-0.00565655--0.00575243)×4.78889513685354e-05×R²
    9.58800000000004e-05×4.78889513685354e-05×6371000²
    9.58800000000004e-05×4.78889513685354e-05×40589641000000     		ar = 178103.14641598m²