Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32708 / 22732
↖ ↑ ↗
← N 48.180738°
W  0.329590°		 ← 407.31 m → N 48.180738°
W  0.324096°		 →
↑
407.30 m
↓
↑
407.30 m
↓
N 48.177075°
W  0.329590°		 ← 407.33 m →
165 901 m²		 N 48.177075°
W  0.324096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499092102050781 y=0.346870422363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499092102050781 × 216)
    floor (0.499092102050781 × 65536)
    floor (32708.5)     		tx = 32708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346870422363281 × 216)
    floor (0.346870422363281 × 65536)
    floor (22732.5)     		ty = 22732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32708 / 22732 ti = "16/32708/22732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32708/22732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32708 ÷ 216
    32708 ÷ 65536     		x = 0.49908447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22732 ÷ 216
    22732 ÷ 65536     		y = 0.34686279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49908447265625 × 2 - 1) × π
    -0.0018310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00575243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34686279296875 × 2 - 1) × π
    0.3062744140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.962189449173767
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00575243} λ = -0.00575243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.962189449173767))-π/2
    2×atan(2.61742091450862)-π/2
    2×1.20585442488571-π/2
    2.41170884977143-1.57079632675     		φ = 0.84091252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00575243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.329590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84091252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.180738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32708 KachelY 22732 -0.00575243 0.84091252 -0.329590 48.180738
    Oben rechts KachelX + 1 32709 KachelY 22732 -0.00565655 0.84091252 -0.324096 48.180738
    Unten links KachelX 32708 KachelY + 1 22733 -0.00575243 0.84084859 -0.329590 48.177075
    Unten rechts KachelX + 1 32709 KachelY + 1 22733 -0.00565655 0.84084859 -0.324096 48.177075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84091252-0.84084859) × R
    6.39300000000453e-05 × 6371000     		dl = 407.298030000289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84091252-0.84084859) × R
    6.39300000000453e-05 × 6371000     		dr = 407.298030000289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00575243--0.00565655) × cos(0.84091252) × R
    9.58800000000004e-05 × 0.666783046300066 × 6371000     		do = 407.305410671306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00575243--0.00565655) × cos(0.84084859) × R
    9.58800000000004e-05 × 0.66683068889033 × 6371000     		du = 407.33451321808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84091252)-sin(0.84084859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666783046300066-0.66683068889033)×R²
    abs(-0.00565655--0.00575243)×4.76425902639077e-05×R²
    9.58800000000004e-05×4.76425902639077e-05×6371000²
    9.58800000000004e-05×4.76425902639077e-05×40589641000000     		ar = 165900.618136541m²