Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32705 / 23107
↖ ↑ ↗
← N 46.788777°
W  0.346069°		 ← 418.20 m → N 46.788777°
W  0.340576°		 →
↑
418.26 m
↓
↑
418.26 m
↓
N 46.785016°
W  0.346069°		 ← 418.23 m →
174 921 m²		 N 46.785016°
W  0.340576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499046325683594 y=0.352592468261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499046325683594 × 216)
    floor (0.499046325683594 × 65536)
    floor (32705.5)     		tx = 32705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352592468261719 × 216)
    floor (0.352592468261719 × 65536)
    floor (23107.5)     		ty = 23107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32705 / 23107 ti = "16/32705/23107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32705/23107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32705 ÷ 216
    32705 ÷ 65536     		x = 0.499038696289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23107 ÷ 216
    23107 ÷ 65536     		y = 0.352584838867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499038696289062 × 2 - 1) × π
    -0.001922607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00604005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352584838867188 × 2 - 1) × π
    0.294830322265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.926236774458725
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00604005} λ = -0.00604005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.926236774458725))-π/2
    2×atan(2.52498917214501)-π/2
    2×1.19370727171677-π/2
    2.38741454343353-1.57079632675     		φ = 0.81661822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00604005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.346069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81661822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.788777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32705 KachelY 23107 -0.00604005 0.81661822 -0.346069 46.788777
    Oben rechts KachelX + 1 32706 KachelY 23107 -0.00594418 0.81661822 -0.340576 46.788777
    Unten links KachelX 32705 KachelY + 1 23108 -0.00604005 0.81655257 -0.346069 46.785016
    Unten rechts KachelX + 1 32706 KachelY + 1 23108 -0.00594418 0.81655257 -0.340576 46.785016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81661822-0.81655257) × R
    6.56499999999172e-05 × 6371000     		dl = 418.256149999472m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81661822-0.81655257) × R
    6.56499999999172e-05 × 6371000     		dr = 418.256149999472m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00604005--0.00594418) × cos(0.81661822) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.684689875832905 × 6371000     		do = 418.200202401555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00604005--0.00594418) × cos(0.81655257) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.684737722344366 × 6371000     		du = 418.229426465593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81661822)-sin(0.81655257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684689875832905-0.684737722344366)×R²
    abs(-0.00594418--0.00604005)×4.78465114616133e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.78465114616133e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.78465114616133e-05×40589641000000     		ar = 174920.918220771m²