Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32703 / 23105
↖ ↑ ↗
← N 46.796299°
W  0.357056°		 ← 418.19 m → N 46.796299°
W  0.351562°		 →
↑
418.19 m
↓
↑
418.19 m
↓
N 46.792538°
W  0.357056°		 ← 418.21 m →
174 888 m²		 N 46.792538°
W  0.351562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499015808105469 y=0.352561950683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499015808105469 × 216)
    floor (0.499015808105469 × 65536)
    floor (32703.5)     		tx = 32703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352561950683594 × 216)
    floor (0.352561950683594 × 65536)
    floor (23105.5)     		ty = 23105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32703 / 23105 ti = "16/32703/23105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32703/23105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32703 ÷ 216
    32703 ÷ 65536     		x = 0.499008178710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23105 ÷ 216
    23105 ÷ 65536     		y = 0.352554321289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499008178710938 × 2 - 1) × π
    -0.001983642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00623180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352554321289062 × 2 - 1) × π
    0.294891357421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.926428522057205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00623180} λ = -0.00623180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.926428522057205))-π/2
    2×atan(2.52547337917624)-π/2
    2×1.19377291094979-π/2
    2.38754582189957-1.57079632675     		φ = 0.81674950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00623180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.357056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81674950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.796299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32703 KachelY 23105 -0.00623180 0.81674950 -0.357056 46.796299
    Oben rechts KachelX + 1 32704 KachelY 23105 -0.00613592 0.81674950 -0.351562 46.796299
    Unten links KachelX 32703 KachelY + 1 23106 -0.00623180 0.81668386 -0.357056 46.792538
    Unten rechts KachelX + 1 32704 KachelY + 1 23106 -0.00613592 0.81668386 -0.351562 46.792538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81674950-0.81668386) × R
    6.56399999999779e-05 × 6371000     		dl = 418.192439999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81674950-0.81668386) × R
    6.56399999999779e-05 × 6371000     		dr = 418.192439999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00623180--0.00613592) × cos(0.81674950) × R
    9.58800000000004e-05 × 0.684594188535795 × 6371000     		do = 418.185373266492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00623180--0.00613592) × cos(0.81668386) × R
    9.58800000000004e-05 × 0.684642033659278 × 6371000     		du = 418.214599530982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81674950)-sin(0.81668386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684594188535795-0.684642033659278)×R²
    abs(-0.00613592--0.00623180)×4.78451234823263e-05×R²
    9.58800000000004e-05×4.78451234823263e-05×6371000²
    9.58800000000004e-05×4.78451234823263e-05×40589641000000     		ar = 174888.072782474m²