Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32702 / 24016
↖ ↑ ↗
← N 43.261206°
W  0.362549°		 ← 444.80 m → N 43.261206°
W  0.357056°		 →
↑
444.89 m
↓
↑
444.89 m
↓
N 43.257205°
W  0.362549°		 ← 444.83 m →
197 891 m²		 N 43.257205°
W  0.357056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499000549316406 y=0.366462707519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499000549316406 × 216)
    floor (0.499000549316406 × 65536)
    floor (32702.5)     		tx = 32702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366462707519531 × 216)
    floor (0.366462707519531 × 65536)
    floor (24016.5)     		ty = 24016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32702 / 24016 ti = "16/32702/24016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32702/24016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32702 ÷ 216
    32702 ÷ 65536     		x = 0.498992919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24016 ÷ 216
    24016 ÷ 65536     		y = 0.366455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498992919921875 × 2 - 1) × π
    -0.00201416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00632767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366455078125 × 2 - 1) × π
    0.26708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.839087490949463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00632767} λ = -0.00632767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.839087490949463))-π/2
    2×atan(2.31425423504499)-π/2
    2×1.16292340601956-π/2
    2.32584681203912-1.57079632675     		φ = 0.75505049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00632767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.362549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75505049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.261206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32702 KachelY 24016 -0.00632767 0.75505049 -0.362549 43.261206
    Oben rechts KachelX + 1 32703 KachelY 24016 -0.00623180 0.75505049 -0.357056 43.261206
    Unten links KachelX 32702 KachelY + 1 24017 -0.00632767 0.75498066 -0.362549 43.257205
    Unten rechts KachelX + 1 32703 KachelY + 1 24017 -0.00623180 0.75498066 -0.357056 43.257205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75505049-0.75498066) × R
    6.98300000000485e-05 × 6371000     		dl = 444.886930000309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75505049-0.75498066) × R
    6.98300000000485e-05 × 6371000     		dr = 444.886930000309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00632767--0.00623180) × cos(0.75505049) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.728236942029552 × 6371000     		do = 444.798217853848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00632767--0.00623180) × cos(0.75498066) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.728284796529339 × 6371000     		du = 444.827446797057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75505049)-sin(0.75498066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728236942029552-0.728284796529339)×R²
    abs(-0.00623180--0.00632767)×4.78544997866148e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.78544997866148e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.78544997866148e-05×40589641000000     		ar = 197891.415478178m²