Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32702 / 24012
↖ ↑ ↗
← N 43.277205°
W  0.362549°		 ← 444.68 m → N 43.277205°
W  0.357056°		 →
↑
444.70 m
↓
↑
444.70 m
↓
N 43.273206°
W  0.362549°		 ← 444.71 m →
197 754 m²		 N 43.273206°
W  0.357056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499000549316406 y=0.366401672363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499000549316406 × 216)
    floor (0.499000549316406 × 65536)
    floor (32702.5)     		tx = 32702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366401672363281 × 216)
    floor (0.366401672363281 × 65536)
    floor (24012.5)     		ty = 24012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32702 / 24012 ti = "16/32702/24012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32702/24012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32702 ÷ 216
    32702 ÷ 65536     		x = 0.498992919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24012 ÷ 216
    24012 ÷ 65536     		y = 0.36639404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498992919921875 × 2 - 1) × π
    -0.00201416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00632767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36639404296875 × 2 - 1) × π
    0.2672119140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.839470986146423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00632767} λ = -0.00632767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.839470986146423))-π/2
    2×atan(2.31514191062746)-π/2
    2×1.16306302535502-π/2
    2.32612605071004-1.57079632675     		φ = 0.75532972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00632767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.362549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75532972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.277205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32702 KachelY 24012 -0.00632767 0.75532972 -0.362549 43.277205
    Oben rechts KachelX + 1 32703 KachelY 24012 -0.00623180 0.75532972 -0.357056 43.277205
    Unten links KachelX 32702 KachelY + 1 24013 -0.00632767 0.75525992 -0.362549 43.273206
    Unten rechts KachelX + 1 32703 KachelY + 1 24013 -0.00623180 0.75525992 -0.357056 43.273206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75532972-0.75525992) × R
    6.98000000000087e-05 × 6371000     		dl = 444.695800000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75532972-0.75525992) × R
    6.98000000000087e-05 × 6371000     		dr = 444.695800000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00632767--0.00623180) × cos(0.75532972) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.72804555021983 × 6371000     		do = 444.681318077192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00632767--0.00623180) × cos(0.75525992) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.728093398353503 × 6371000     		du = 444.710543132056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75532972)-sin(0.75525992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72804555021983-0.728093398353503)×R²
    abs(-0.00623180--0.00632767)×4.78481336728676e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.78481336728676e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.78481336728676e-05×40589641000000     		ar = 197754.412697161m²