Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32702 / 21827
↖ ↑ ↗
← N 51.388923°
W  0.362549°		 ← 381.15 m → N 51.388923°
W  0.357056°		 →
↑
381.18 m
↓
↑
381.18 m
↓
N 51.385495°
W  0.362549°		 ← 381.18 m →
145 291 m²		 N 51.385495°
W  0.357056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499000549316406 y=0.333061218261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499000549316406 × 216)
    floor (0.499000549316406 × 65536)
    floor (32702.5)     		tx = 32702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333061218261719 × 216)
    floor (0.333061218261719 × 65536)
    floor (21827.5)     		ty = 21827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32702 / 21827 ti = "16/32702/21827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32702/21827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32702 ÷ 216
    32702 ÷ 65536     		x = 0.498992919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21827 ÷ 216
    21827 ÷ 65536     		y = 0.333053588867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498992919921875 × 2 - 1) × π
    -0.00201416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00632767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333053588867188 × 2 - 1) × π
    0.333892822265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.04895523748607
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00632767} λ = -0.00632767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04895523748607))-π/2
    2×atan(2.85466711035824)-π/2
    2×1.23385111696708-π/2
    2.46770223393417-1.57079632675     		φ = 0.89690591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00632767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.362549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89690591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.388923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32702 KachelY 21827 -0.00632767 0.89690591 -0.362549 51.388923
    Oben rechts KachelX + 1 32703 KachelY 21827 -0.00623180 0.89690591 -0.357056 51.388923
    Unten links KachelX 32702 KachelY + 1 21828 -0.00632767 0.89684608 -0.362549 51.385495
    Unten rechts KachelX + 1 32703 KachelY + 1 21828 -0.00623180 0.89684608 -0.357056 51.385495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89690591-0.89684608) × R
    5.9829999999983e-05 × 6371000     		dl = 381.176929999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89690591-0.89684608) × R
    5.9829999999983e-05 × 6371000     		dr = 381.176929999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00632767--0.00623180) × cos(0.89690591) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.624030672905466 × 6371000     		do = 381.150303115527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00632767--0.00623180) × cos(0.89684608) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.624077422941323 × 6371000     		du = 381.178857465676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89690591)-sin(0.89684608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624030672905466-0.624077422941323)×R²
    abs(-0.00623180--0.00632767)×4.67500358570794e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.67500358570794e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.67500358570794e-05×40589641000000     		ar = 145291.144583109m²