Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32701 / 24021
↖ ↑ ↗
← N 43.241201°
W  0.368042°		 ← 444.94 m → N 43.241201°
W  0.362549°		 →
↑
444.95 m
↓
↑
444.95 m
↓
N 43.237199°
W  0.368042°		 ← 444.97 m →
197 985 m²		 N 43.237199°
W  0.362549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32701 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498985290527344 y=0.366539001464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498985290527344 × 216)
    floor (0.498985290527344 × 65536)
    floor (32701.5)     		tx = 32701
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366539001464844 × 216)
    floor (0.366539001464844 × 65536)
    floor (24021.5)     		ty = 24021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32701 / 24021 ti = "16/32701/24021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32701/24021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32701 ÷ 216
    32701 ÷ 65536     		x = 0.498977661132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24021 ÷ 216
    24021 ÷ 65536     		y = 0.366531372070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498977661132812 × 2 - 1) × π
    -0.002044677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00642354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366531372070312 × 2 - 1) × π
    0.266937255859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.838608121953262
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00642354} λ = -0.00642354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.838608121953262))-π/2
    2×atan(2.31314511917451)-π/2
    2×1.1627488302418-π/2
    2.32549766048361-1.57079632675     		φ = 0.75470133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00642354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.368042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75470133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.241201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32701 KachelY 24021 -0.00642354 0.75470133 -0.368042 43.241201
    Oben rechts KachelX + 1 32702 KachelY 24021 -0.00632767 0.75470133 -0.362549 43.241201
    Unten links KachelX 32701 KachelY + 1 24022 -0.00642354 0.75463149 -0.368042 43.237199
    Unten rechts KachelX + 1 32702 KachelY + 1 24022 -0.00632767 0.75463149 -0.362549 43.237199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75470133-0.75463149) × R
    6.98399999999877e-05 × 6371000     		dl = 444.950639999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75470133-0.75463149) × R
    6.98399999999877e-05 × 6371000     		dr = 444.950639999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00642354--0.00632767) × cos(0.75470133) × R
    9.58700000000005e-05 × 0.728476185864029 × 6371000     		do = 444.944345061998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00642354--0.00632767) × cos(0.75463149) × R
    9.58700000000005e-05 × 0.72852402945476 × 6371000     		du = 444.973567342089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75470133)-sin(0.75463149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728476185864029-0.72852402945476)×R²
    abs(-0.00632767--0.00642354)×4.78435907304009e-05×R²
    9.58700000000005e-05×4.78435907304009e-05×6371000²
    9.58700000000005e-05×4.78435907304009e-05×40589641000000     		ar = 197984.772416229m²