Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32697 / 24025
↖ ↑ ↗
← N 43.225193°
W  0.390015°		 ← 445.06 m → N 43.225193°
W  0.384522°		 →
↑
445.08 m
↓
↑
445.08 m
↓
N 43.221190°
W  0.390015°		 ← 445.09 m →
198 093 m²		 N 43.221190°
W  0.384522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498924255371094 y=0.366600036621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498924255371094 × 216)
    floor (0.498924255371094 × 65536)
    floor (32697.5)     		tx = 32697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366600036621094 × 216)
    floor (0.366600036621094 × 65536)
    floor (24025.5)     		ty = 24025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32697 / 24025 ti = "16/32697/24025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32697/24025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32697 ÷ 216
    32697 ÷ 65536     		x = 0.498916625976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24025 ÷ 216
    24025 ÷ 65536     		y = 0.366592407226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498916625976562 × 2 - 1) × π
    -0.002166748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00680704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366592407226562 × 2 - 1) × π
    0.266815185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.838224626756302
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00680704} λ = -0.00680704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.838224626756302))-π/2
    2×atan(2.31225820920516)-π/2
    2×1.16260912833437-π/2
    2.32521825666874-1.57079632675     		φ = 0.75442193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00680704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.390015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75442193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.225193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32697 KachelY 24025 -0.00680704 0.75442193 -0.390015 43.225193
    Oben rechts KachelX + 1 32698 KachelY 24025 -0.00671117 0.75442193 -0.384522 43.225193
    Unten links KachelX 32697 KachelY + 1 24026 -0.00680704 0.75435207 -0.390015 43.221190
    Unten rechts KachelX + 1 32698 KachelY + 1 24026 -0.00671117 0.75435207 -0.384522 43.221190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75442193-0.75435207) × R
    6.98599999999772e-05 × 6371000     		dl = 445.078059999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75442193-0.75435207) × R
    6.98599999999772e-05 × 6371000     		dr = 445.078059999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00680704--0.00671117) × cos(0.75442193) × R
    9.58700000000005e-05 × 0.728667566299916 × 6371000     		do = 445.061237891655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00680704--0.00671117) × cos(0.75435207) × R
    9.58700000000005e-05 × 0.728715409369674 × 6371000     		du = 445.090459853543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75442193)-sin(0.75435207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728667566299916-0.728715409369674)×R²
    abs(-0.00671117--0.00680704)×4.78430697581356e-05×R²
    9.58700000000005e-05×4.78430697581356e-05×6371000²
    9.58700000000005e-05×4.78430697581356e-05×40589641000000     		ar = 198093.495449575m²