Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32697 / 22759
↖ ↑ ↗
← N 48.081749°
W  0.390015°		 ← 408.05 m → N 48.081749°
W  0.384522°		 →
↑
408.06 m
↓
↑
408.06 m
↓
N 48.078079°
W  0.390015°		 ← 408.08 m →
166 515 m²		 N 48.078079°
W  0.384522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498924255371094 y=0.347282409667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498924255371094 × 216)
    floor (0.498924255371094 × 65536)
    floor (32697.5)     		tx = 32697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347282409667969 × 216)
    floor (0.347282409667969 × 65536)
    floor (22759.5)     		ty = 22759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32697 / 22759 ti = "16/32697/22759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32697/22759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32697 ÷ 216
    32697 ÷ 65536     		x = 0.498916625976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22759 ÷ 216
    22759 ÷ 65536     		y = 0.347274780273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498916625976562 × 2 - 1) × π
    -0.002166748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00680704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347274780273438 × 2 - 1) × π
    0.305450439453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.959600856594284
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00680704} λ = -0.00680704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.959600856594284))-π/2
    2×atan(2.61065424001215)-π/2
    2×1.20499057751565-π/2
    2.4099811550313-1.57079632675     		φ = 0.83918483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00680704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.390015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83918483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.081749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32697 KachelY 22759 -0.00680704 0.83918483 -0.390015 48.081749
    Oben rechts KachelX + 1 32698 KachelY 22759 -0.00671117 0.83918483 -0.384522 48.081749
    Unten links KachelX 32697 KachelY + 1 22760 -0.00680704 0.83912078 -0.390015 48.078079
    Unten rechts KachelX + 1 32698 KachelY + 1 22760 -0.00671117 0.83912078 -0.384522 48.078079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83918483-0.83912078) × R
    6.40499999999822e-05 × 6371000     		dl = 408.062549999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83918483-0.83912078) × R
    6.40499999999822e-05 × 6371000     		dr = 408.062549999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00680704--0.00671117) × cos(0.83918483) × R
    9.58700000000005e-05 × 0.668069614740966 × 6371000     		do = 408.048750192396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00680704--0.00671117) × cos(0.83912078) × R
    9.58700000000005e-05 × 0.668117272897252 × 6371000     		du = 408.077859211396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83918483)-sin(0.83912078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668069614740966-0.668117272897252)×R²
    abs(-0.00671117--0.00680704)×4.76581562858236e-05×R²
    9.58700000000005e-05×4.76581562858236e-05×6371000²
    9.58700000000005e-05×4.76581562858236e-05×40589641000000     		ar = 166515.352734932m²