Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32696 / 22744
↖ ↑ ↗
← N 48.136767°
W  0.395508°		 ← 407.61 m → N 48.136767°
W  0.390015°		 →
↑
407.62 m
↓
↑
407.62 m
↓
N 48.133101°
W  0.395508°		 ← 407.64 m →
166 155 m²		 N 48.133101°
W  0.390015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498908996582031 y=0.347053527832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498908996582031 × 216)
    floor (0.498908996582031 × 65536)
    floor (32696.5)     		tx = 32696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347053527832031 × 216)
    floor (0.347053527832031 × 65536)
    floor (22744.5)     		ty = 22744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32696 / 22744 ti = "16/32696/22744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32696/22744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32696 ÷ 216
    32696 ÷ 65536     		x = 0.4989013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22744 ÷ 216
    22744 ÷ 65536     		y = 0.3470458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4989013671875 × 2 - 1) × π
    -0.002197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00690291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3470458984375 × 2 - 1) × π
    0.305908203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.961038963582886
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00690291} λ = -0.00690291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.961038963582886))-π/2
    2×atan(2.61441134102863)-π/2
    2×1.20547069830075-π/2
    2.4109413966015-1.57079632675     		φ = 0.84014507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00690291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84014507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.136767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32696 KachelY 22744 -0.00690291 0.84014507 -0.395508 48.136767
    Oben rechts KachelX + 1 32697 KachelY 22744 -0.00680704 0.84014507 -0.390015 48.136767
    Unten links KachelX 32696 KachelY + 1 22745 -0.00690291 0.84008109 -0.395508 48.133101
    Unten rechts KachelX + 1 32697 KachelY + 1 22745 -0.00680704 0.84008109 -0.390015 48.133101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84014507-0.84008109) × R
    6.39800000000745e-05 × 6371000     		dl = 407.616580000475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84014507-0.84008109) × R
    6.39800000000745e-05 × 6371000     		dr = 407.616580000475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00690291--0.00680704) × cos(0.84014507) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.667354793440794 × 6371000     		do = 407.612146084511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00690291--0.00680704) × cos(0.84008109) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.667402440536296 × 6371000     		du = 407.64124834772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84014507)-sin(0.84008109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667354793440794-0.667402440536296)×R²
    abs(-0.00680704--0.00690291)×4.76470955020902e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.76470955020902e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.76470955020902e-05×40589641000000     		ar = 166155.400292609m²