Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32696 / 22696
↖ ↑ ↗
← N 48.312428°
W  0.395508°		 ← 406.22 m → N 48.312428°
W  0.390015°		 →
↑
406.28 m
↓
↑
406.28 m
↓
N 48.308774°
W  0.395508°		 ← 406.24 m →
165 043 m²		 N 48.308774°
W  0.390015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498908996582031 y=0.346321105957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498908996582031 × 216)
    floor (0.498908996582031 × 65536)
    floor (32696.5)     		tx = 32696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346321105957031 × 216)
    floor (0.346321105957031 × 65536)
    floor (22696.5)     		ty = 22696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32696 / 22696 ti = "16/32696/22696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32696/22696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32696 ÷ 216
    32696 ÷ 65536     		x = 0.4989013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22696 ÷ 216
    22696 ÷ 65536     		y = 0.3463134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4989013671875 × 2 - 1) × π
    -0.002197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00690291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3463134765625 × 2 - 1) × π
    0.307373046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.965640905946411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00690291} λ = -0.00690291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.965640905946411))-π/2
    2×atan(2.62647043768632)-π/2
    2×1.20700363166749-π/2
    2.41400726333498-1.57079632675     		φ = 0.84321094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00690291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84321094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.312428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32696 KachelY 22696 -0.00690291 0.84321094 -0.395508 48.312428
    Oben rechts KachelX + 1 32697 KachelY 22696 -0.00680704 0.84321094 -0.390015 48.312428
    Unten links KachelX 32696 KachelY + 1 22697 -0.00690291 0.84314717 -0.395508 48.308774
    Unten rechts KachelX + 1 32697 KachelY + 1 22697 -0.00680704 0.84314717 -0.390015 48.308774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84321094-0.84314717) × R
    6.37700000000185e-05 × 6371000     		dl = 406.278670000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84321094-0.84314717) × R
    6.37700000000185e-05 × 6371000     		dr = 406.278670000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00690291--0.00680704) × cos(0.84321094) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.665068384757071 × 6371000     		do = 406.215635623272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00690291--0.00680704) × cos(0.84314717) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.665116005722269 × 6371000     		du = 406.24472192641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84321094)-sin(0.84314717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665068384757071-0.665116005722269)×R²
    abs(-0.00680704--0.00690291)×4.76209651982806e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.76209651982806e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.76209651982806e-05×40589641000000     		ar = 165042.656802591m²