Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32695 / 24023
↖ ↑ ↗
← N 43.233197°
W  0.401001°		 ← 445.05 m → N 43.233197°
W  0.395508°		 →
↑
445.01 m
↓
↑
445.01 m
↓
N 43.229195°
W  0.401001°		 ← 445.08 m →
198 060 m²		 N 43.229195°
W  0.395508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498893737792969 y=0.366569519042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498893737792969 × 216)
    floor (0.498893737792969 × 65536)
    floor (32695.5)     		tx = 32695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366569519042969 × 216)
    floor (0.366569519042969 × 65536)
    floor (24023.5)     		ty = 24023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32695 / 24023 ti = "16/32695/24023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32695/24023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32695 ÷ 216
    32695 ÷ 65536     		x = 0.498886108398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24023 ÷ 216
    24023 ÷ 65536     		y = 0.366561889648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498886108398438 × 2 - 1) × π
    -0.002227783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00699879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366561889648438 × 2 - 1) × π
    0.266876220703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.838416374354782
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00699879} λ = -0.00699879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.838416374354782))-π/2
    2×atan(2.31270162167412)-π/2
    2×1.16267898387524-π/2
    2.32535796775049-1.57079632675     		φ = 0.75456164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00699879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.401001°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75456164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.233197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32695 KachelY 24023 -0.00699879 0.75456164 -0.401001 43.233197
    Oben rechts KachelX + 1 32696 KachelY 24023 -0.00690291 0.75456164 -0.395508 43.233197
    Unten links KachelX 32695 KachelY + 1 24024 -0.00699879 0.75449179 -0.401001 43.229195
    Unten rechts KachelX + 1 32696 KachelY + 1 24024 -0.00690291 0.75449179 -0.395508 43.229195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75456164-0.75449179) × R
    6.98500000000379e-05 × 6371000     		dl = 445.014350000242m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75456164-0.75449179) × R
    6.98500000000379e-05 × 6371000     		dr = 445.014350000242m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00699879--0.00690291) × cos(0.75456164) × R
    9.58800000000004e-05 × 0.728571876341716 × 6371000     		do = 445.049208949716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00699879--0.00690291) × cos(0.75449179) × R
    9.58800000000004e-05 × 0.728619719673954 × 6371000     		du = 445.078434120022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75456164)-sin(0.75449179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728571876341716-0.728619719673954)×R²
    abs(-0.00690291--0.00699879)×4.78433322380623e-05×R²
    9.58800000000004e-05×4.78433322380623e-05×6371000²
    9.58800000000004e-05×4.78433322380623e-05×40589641000000     		ar = 198059.787329511m²