Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32695 / 22729
↖ ↑ ↗
← N 48.191725°
W  0.401001°		 ← 407.22 m → N 48.191725°
W  0.395508°		 →
↑
407.17 m
↓
↑
407.17 m
↓
N 48.188064°
W  0.401001°		 ← 407.25 m →
165 813 m²		 N 48.188064°
W  0.395508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498893737792969 y=0.346824645996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498893737792969 × 216)
    floor (0.498893737792969 × 65536)
    floor (32695.5)     		tx = 32695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346824645996094 × 216)
    floor (0.346824645996094 × 65536)
    floor (22729.5)     		ty = 22729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32695 / 22729 ti = "16/32695/22729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32695/22729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32695 ÷ 216
    32695 ÷ 65536     		x = 0.498886108398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22729 ÷ 216
    22729 ÷ 65536     		y = 0.346817016601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498886108398438 × 2 - 1) × π
    -0.002227783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00699879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346817016601562 × 2 - 1) × π
    0.306365966796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.962477070571487
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00699879} λ = -0.00699879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.962477070571487))-π/2
    2×atan(2.61817384904533)-π/2
    2×1.20595030514433-π/2
    2.41190061028866-1.57079632675     		φ = 0.84110428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00699879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.401001°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84110428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.191725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32695 KachelY 22729 -0.00699879 0.84110428 -0.401001 48.191725
    Oben rechts KachelX + 1 32696 KachelY 22729 -0.00690291 0.84110428 -0.395508 48.191725
    Unten links KachelX 32695 KachelY + 1 22730 -0.00699879 0.84104037 -0.401001 48.188064
    Unten rechts KachelX + 1 32696 KachelY + 1 22730 -0.00690291 0.84104037 -0.395508 48.188064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84110428-0.84104037) × R
    6.39100000000559e-05 × 6371000     		dl = 407.170610000356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84110428-0.84104037) × R
    6.39100000000559e-05 × 6371000     		dr = 407.170610000356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00699879--0.00690291) × cos(0.84110428) × R
    9.58800000000004e-05 × 0.666640124540412 × 6371000     		do = 407.218106702897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00699879--0.00690291) × cos(0.84104037) × R
    9.58800000000004e-05 × 0.666687760397588 × 6371000     		du = 407.247205136754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84110428)-sin(0.84104037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666640124540412-0.666687760397588)×R²
    abs(-0.00690291--0.00699879)×4.76358571754876e-05×R²
    9.58800000000004e-05×4.76358571754876e-05×6371000²
    9.58800000000004e-05×4.76358571754876e-05×40589641000000     		ar = 165813.168979687m²