Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32693 / 24093
↖ ↑ ↗
← N 42.952402°
W  0.411987°		 ← 447.05 m → N 42.952402°
W  0.406494°		 →
↑
447.12 m
↓
↑
447.12 m
↓
N 42.948381°
W  0.411987°		 ← 447.08 m →
199 889 m²		 N 42.948381°
W  0.406494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498863220214844 y=0.367637634277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498863220214844 × 216)
    floor (0.498863220214844 × 65536)
    floor (32693.5)     		tx = 32693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367637634277344 × 216)
    floor (0.367637634277344 × 65536)
    floor (24093.5)     		ty = 24093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32693 / 24093 ti = "16/32693/24093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32693/24093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32693 ÷ 216
    32693 ÷ 65536     		x = 0.498855590820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24093 ÷ 216
    24093 ÷ 65536     		y = 0.367630004882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498855590820312 × 2 - 1) × π
    -0.002288818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00719053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367630004882812 × 2 - 1) × π
    0.264739990234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.831705208407974
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00719053} λ = -0.00719053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.831705208407974))-π/2
    2×atan(2.29723266274062)-π/2
    2×1.16022858240663-π/2
    2.32045716481326-1.57079632675     		φ = 0.74966084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00719053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.411987°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74966084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.952402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32693 KachelY 24093 -0.00719053 0.74966084 -0.411987 42.952402
    Oben rechts KachelX + 1 32694 KachelY 24093 -0.00709466 0.74966084 -0.406494 42.952402
    Unten links KachelX 32693 KachelY + 1 24094 -0.00719053 0.74959066 -0.411987 42.948381
    Unten rechts KachelX + 1 32694 KachelY + 1 24094 -0.00709466 0.74959066 -0.406494 42.948381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74966084-0.74959066) × R
    7.01800000000308e-05 × 6371000     		dl = 447.116780000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74966084-0.74959066) × R
    7.01800000000308e-05 × 6371000     		dr = 447.116780000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00719053--0.00709466) × cos(0.74966084) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.731920011388334 × 6371000     		do = 447.047791574254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00719053--0.00709466) × cos(0.74959066) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.731967829575444 × 6371000     		du = 447.076998338124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74966084)-sin(0.74959066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731920011388334-0.731967829575444)×R²
    abs(-0.00709466--0.00719053)×4.78181871096384e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.78181871096384e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.78181871096384e-05×40589641000000     		ar = 199889.098574122m²